Question

13．已知關(guān)于二次函數(shù)y=x²-（4k+2）x+4k²+3k的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），（b，0），并滿足（a-b）²=2，求k的值，并寫出二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）如圖所示，由（2）所得的拋物線與一次函數(shù)y=-3x+$\frac{7}{2}$的圖象相交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，求三角形CDP的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可知對(duì)應(yīng)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，由判別式大于0可求得k的范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b、ab，代入（a-b）²=（a+b）²-4ab=2即可求得k的值，可知答案；
（3）分別求出直線與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)及兩直線與y軸交點(diǎn)，由三角形面積公式列式計(jì)算可得．

解答 解：（1）由題意可得方程x²-（4k+2）x+4k²+3k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根
∴[-（4k+2）]²-4（4k²+3k）0，
即4k+4＞0，解得：k＞-1；

（2）∵二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），（b，0），
∴a+b=4k+2，ab=4k²+3k，
∵（a-b）²=2，
∴（a+b）²-4ab=2
即（4k+2）²-4（4k²+3k）=2，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，
因此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-$\frac{1}{2}$；

（3）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-\frac{1}{2}}\\{y=-3x+\frac{7}{2}}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=\frac{31}{2}}\end{array}\right.$，
即點(diǎn)C（-4，$\frac{31}{2}$）、D（1，$\frac{1}{2}$），
在二次函數(shù)中當(dāng)x=0，y=-$\frac{1}{2}$，即點(diǎn)P（0，-$\frac{1}{2}$）
在一次函數(shù)中當(dāng)x=0，y=$\frac{7}{2}$，
∴S_△CDP=$\frac{1}{2}$×[$\frac{7}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）]×1+$\frac{1}{2}$×[$\frac{7}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）]×4=10，
即三角形CDP的面積為10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程、一次函數(shù)相交的綜合問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)和一元二次方程的根之間的關(guān)系及二次函數(shù)與一次函數(shù)相交問題是解題關(guān)鍵．