Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣1）2+4與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P在這條拋物線上，且不與B、C兩點(diǎn)重合．過點(diǎn)P作y軸的垂線與射線BC交于點(diǎn)Q，以PQ為邊作Rt△PQF，使∠PQF=90°，點(diǎn)F在點(diǎn)Q的下方，且QF=1．設(shè)線段PQ的長度為d，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)Rt△PQF的邊PF被y軸平分時(shí)，求d的值．
（4）以O(shè)B為邊作等腰直角三角形OBD，當(dāng)0＜m＜3時(shí)，直接寫出點(diǎn)F落在△OBD的邊上時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)B（3，0）代入拋物線y=a（x﹣1）2+4，

得：4a+4=0，

解得：a=﹣1，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，

即拋物線解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：對于拋物線y=﹣x2+2x+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3；

當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1，或x=3，

∴C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

根據(jù)題意得：，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（m，﹣m2+2m+3），

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)坐標(biāo)為：﹣m2+2m+3，

則﹣x+3=﹣m2+2m+3，x=m2﹣2m，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），

∴當(dāng)﹣1≤m＜0時(shí)，如圖1，

d=m2﹣2m﹣m=m2﹣3m，

當(dāng)0＜x＜3時(shí)，如圖2，

d=m﹣（m2﹣2m）=﹣m2+3m

∴d與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：d=；

（3）

解：當(dāng)Rt△PQF的邊PF被y軸平分時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對稱，

∴橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，

∴m2﹣2m+m=0，

解得：m=1，或m=0（不合題意，舍去），

∴m=1，

∴d=3﹣1=2；

（4）

解：分四種情況：

①情形一：如圖4所示，

∵C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），

將y=3代入函數(shù)y=﹣x2+2x+3得x1=0（舍去），x2=2，

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m=2；

②情形二：如圖5所示：過D2點(diǎn)作D2G⊥CO交QF與N點(diǎn)，

∵B（0，3）

∴D2（，），

∵CO=3，QF=1，QF∥CO，

∴=，

∴D2N=，

∴Q（1，2），

將y=2代入函數(shù)y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），

∴m=；

②情形三：如圖6所示：過D2點(diǎn)作D2G⊥OB，

∵B（0，3）

∴D2（，），

∵BG=，QF=1，QF∥CO，

∴=，

∴BF=1，

∴Q（1，1），

將y=1代入函數(shù)y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），

∴m=；

④情形四：如圖7所示：

∵CD2=6，QF=1，BC=，且QF∥CD2，

∴，

∴BQ=，

∴Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)，

將y=代入函數(shù)y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），

∴m=．

綜上所述：當(dāng)0＜m＜3時(shí)，點(diǎn)F落在△OBD的邊上時(shí)m的值為：2，或，或，或．

【解析】（1）把點(diǎn)B（3，0）代入拋物線y=a（x﹣1）2+4，求出a的值即可；
（2）先求出直線BC的解析式，由點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)求出橫坐標(biāo)，求出PQ，即可得出結(jié)果；
（3）由題意得出點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對稱，得出方程，解方程即可；
（4）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在△OBD的直角邊上時(shí)，延長QF交OB于G，證出△OFG是等腰直角三角形，得出OG=FG，由FG=QG﹣QF，得出方程，解方程即可；
②當(dāng)點(diǎn)F落在△OBD的斜邊上時(shí)，證出△BQF是等腰直角三角形，得出BF=QF=1，OF=2，得出方程，解方程即可．