Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，點O是AB的中點，將OB繞點O順時針旋轉α角時（0°＜α＜180°），得到OP，當△ACP為等腰三角形時，α的值為_____．

Answer 1

【答案】40°或70°或100°．

【解析】

試題分析：根據(jù)旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．先連結AP，如圖，由旋轉的性質得OP=OB，則可判斷點P、C在以AB為直徑的圓上，利用圓周角定理得∠BAP=∠BOP=α，∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，然后分類討論：當AP=AC時，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°；當PA=PC時，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，；當CP=CA時，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，再分別解關于α的方程即可．連結AP，如圖，

∵點O是AB的中點，∴OA=OB，∵OB繞點O順時針旋轉α角時（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP=OB，∴點P在以AB為直徑的圓上，∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，∵∠ACB=90°，∴點P、C在以AB為直徑的圓上，∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，當AP=AC時，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°，解得α=40°；當PA=PC時，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；當CP=CA時，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，解得α=100°，綜上所述，α的值為40°或70°或100°．故答案為40°或70°或100°．