【題目】我們定義:如圖1,在ABC看,把ABA順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB',把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC',連接B'C'.當α+β=180°時,我們稱A'B'C'ABC旋補三角形”,AB'C'B'C'上的中線AD叫做ABC旋補中線,點A叫做旋補中心”.

特例感知:

(1)在圖2,圖3中,AB'C'ABC旋補三角形”,ADABC旋補中線”.

①如圖2,當ABC為等邊三角形時,ADBC的數(shù)量關系為AD=   BC;

②如圖3,當∠BAC=90°,BC=8時,則AD長為   

猜想論證:

(2)在圖1中,當ABC為任意三角形時,猜想ADBC的數(shù)量關系,并給予證明.

【答案】(1)①;4;(2) AD=BC.

【解析】試題分析:(1)①首先證明△ADB′是含有30°是直角三角形,可得AD=AB′即可解決問題;②首先證明△BAC≌△B′AC′,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題;
(2)如圖1中,延長AD到Q,使得AD=DQ,連接B′Q,C′Q,根據(jù)∠QB′A=∠BAC,QB′=AC′=AC,AB′=AB,即可得到△AQB′≌△BAC,即可解決問題.

試題解析:

解:(1)①如圖2,當ABC為等邊三角形時,ADBC的數(shù)量關系為AD=BC;

理由:∵△ABC是等邊三角形,

AB=BC=AC=AB′=AC′,

DB′=DC′,

ADB′C′,

∵∠BAC=60°,BAC+B′AC′=180°,

∴∠B′AC′=120°,

∴∠B′=C′=30°,

AD=AB′=BC,

故答案為

②如圖3,當∠BAC=90°,BC=8時,則AD長為4.

理由:∵∠BAC=90°,BAC+B′AC′=180°,

∴∠B′AC′=BAC=90°,

AB=AB′,AC=AC′,

∴△BAC≌△B′AC′,

BC=B′C′,

B′D=DC′,

AD=B′C′=BC=4,

故答案為4.

(2)猜想AD=BC

證明:如圖,延長AD至點Q,則DQB'≌△DAC',

QB'=AC',QB'AC',

∴∠QB'A+B'AC'=180°,

∵∠BAC+B'AC'=180°,

∴∠QB'A=BAC,

又由題意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,

∴△AQB'≌△BCA,

AQ=BC=2AD,

即AD=BC

練習冊系列答案
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