Question

13．如圖，直線y=kx+b的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，且OA，OB的長是方程x（6-x）=8的兩個(gè)根（OA＞OB），點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，tan∠BCA=$\frac{1}{3}$，M是AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）求直線BC的解析式．
（3）點(diǎn)P在直線AB上，點(diǎn)N在直線BC上，若以點(diǎn)O，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）解方程求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)tan∠BCA=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{3}$，求得直線BC的斜率，然后根據(jù)B的坐標(biāo)即可得出解析式；
（3）分兩種情況：①當(dāng)四邊形OMNP是平行四邊形時(shí)，設(shè)P（a，-$\frac{1}{2}$a+2），根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出N（a+2，-$\frac{1}{2}a$+2+1），把x=a+2代入直線BC的解析式得出N的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)縱坐標(biāo)相等列出方程，解方程即可求得；②當(dāng)四邊形OMPN是平行四邊形時(shí)，設(shè)P（a，-$\frac{1}{2}$a+2），則N（a-2，-$\frac{1}{2}a$+2-1），同理求得．

解答 解；（1）方程x（6-x）=8整理得：
x²-6x+8=0，
解得x₁=4，x₂=2，
∴OA=4，OB=2，
∴A（4，0），B（0，2），
∴M（2，1）；
（2）∵tan∠BCA=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{3}$，OB=2，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+2；
（3）∵A（4，0），B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵點(diǎn)P在直線AB上，點(diǎn)N在直線BC上，M（2，1）；
①當(dāng)四邊形OMNP是平行四邊形時(shí)，
設(shè)P（a，-$\frac{1}{2}$a+2），則N（x+2，-$\frac{1}{2}a$+2+1），
把x=a+2代入y=$\frac{1}{3}$x+2得y=$\frac{1}{3}$（a+2）+2，
∴$\frac{1}{3}$（a+2）+2=-$\frac{1}{2}a$+2+1，
解得a=$\frac{2}{5}$，
∴P（$\frac{2}{5}$，$\frac{9}{5}$）；
②當(dāng)四邊形OMPN是平行四邊形時(shí)，
設(shè)P（a，-$\frac{1}{2}$a+2），則N（a-2，-$\frac{1}{2}a$+2-1），
把x=a-2代入y=$\frac{1}{3}$x+2得y=$\frac{1}{3}$（a-2）+2，
∴$\frac{1}{3}$（a-2）+2=-$\frac{1}{2}a$+2-1，
解得a=-$\frac{2}{5}$，
∴P（-$\frac{2}{5}$，$\frac{11}{5}$），
綜上P的坐標(biāo)為（$\frac{2}{5}$，$\frac{9}{5}$）或（-$\frac{2}{5}$，$\frac{11}{5}$）．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．