Question

2．直線y=x-10與x軸交于A點，點B在第一象限，且AB=3$\sqrt{5}$，cos∠OAB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）若點C是點B關(guān)于x軸的對稱點，求過O、C、A三點的拋物線的表達式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在點P（P點在第一象限），使得以點P、O、C、A為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
（3）若將點O、A分別變換為點Q（-4m，0）R（6m，0）（m＞0且為常數(shù)），設(shè)過點Q、R兩點以QR的垂直平分線為對稱軸的拋物線（開口向上）與y軸的交點為N，其頂點為M，記△QNM的面積為S_△QNM，△QNR的面積為S_△QNR，求S_△QNM：S_△QNR的值．

Answer 1

分析 （1）已知了AB的長以及∠OAB的余弦值，可過B作BD⊥x軸于D，即可求出BD和AD的長，進而可得出OD的長，由此可求出B點坐標，也就得出了C點坐標．然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）本題可分三種情況：
①CP∥OA，可將C點縱坐標代入拋物線的解析式中，即可求出P點坐標；然后判斷CP是否與OA相等即可．如果不相等，則四邊形POCA是梯形，反之則不是．
②OP∥AC，先求出直線AC的解析式，由于直線OP與直線AC平行，因此兩函數(shù)的斜率相同，再根據(jù)O點坐標，可求出直線OP的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點坐標．然后判斷OP是否與AC相等即可．
③AP∥OC，同②．
（3）先根據(jù)Q、R的坐標求出拋物線的解析式，然后求出N點和M點的坐標，由于拋物線的開口方向不確定，因此分兩種情況，由于兩種情況解法相同，以開口向上為例說明：由于三角形QNM的面積無法直接求出，因此可將其面積化為其他圖形面積的和差來求．過M作MG⊥x軸于G，則三角形QNM的面積可以用梯形QNMG的面積+三角形QON的面積-三角形QMG的面積來得出．然后分別表示出三角形QNM和QNR面積，進行比較即可．

解答 解：（1）如圖，
過點B作BD⊥OA于點D．
在Rt△ABD中，
∵cos∠OAB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠OAB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=3$\sqrt{5}$，
∴BD=AB•sin∠OAB=3$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=3．
又由勾股定理，得AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=6．
∴OD=OA-AD=4．
∵點B在第一象限內(nèi)，
∴點B的坐標為（4，3）．
∴點B關(guān)于x軸對稱的點C的坐標為（4，-3）．
∵直線y=x-10與x軸交于A點，
∴點A的坐標是（10，0），
設(shè)經(jīng)過O（0，0），C（4，-3），A（10，0）三點的拋物線的函數(shù)表達式為y=ax²+bx（a≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=-3}\\{100a+10b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{b=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴經(jīng)過O，C，A三點的拋物線的函數(shù)表達式為y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{5}{4}$x；
（2）假設(shè)在（1）中的拋物線上存在點P，使以P，O，C，A為頂點的四邊形為梯形．
①∵點C（4，-3）不是拋物線y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{5}{4}$x的頂點，
∴過點C作直線OA的平行線與拋物線交于點P₁．
則直線CP₁的函數(shù)表達式為y=-3．
對于y=$\frac{1}{8}$x²-$\frac{5}{4}$x，令y=-3，則x=4或x=6．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-3}\end{array}\right.$．
而點C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四邊形P₁AOC中，CP₁∥OA，顯然CP₁≠OA．
∴點P₁（6，-3）是符合要求的點．
②若AP₂∥CO．設(shè)直線CO的函數(shù)表達式為y=k₁x．
將點C（4，-3）代入，
得4k₁=-3．
∴k₁=-$\frac{3}{4}$．
∴直線CO的函數(shù)表達式為y=-$\frac{3}{4}$x．
于是可設(shè)直線AP₂的函數(shù)表達式為y=-$\frac{3}{4}$x+b₁．
將點A（10，0）代入，
得-$\frac{3}{4}$×10+b₁=0．
∴b₁=7.5．
∴直線AP₂的函數(shù)表達式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{5}{4}x}\end{array}\right.$，
得：x²-4x-60=0，
即（x-10）（x+6）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=12}\end{array}\right.$．
而點A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
過點P₂作P₂E⊥x軸于點E，則P₂E=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，
得AP₂=$\sqrt{{P}_{2}{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20．
而CO=OB=5．
∴在四邊形P₂OCA中，AP₂∥CO，但AP₂≠CO．
∴點P₂（-6，12）是符合要求的點．
③若OP₃∥CA．設(shè)直線CA的函數(shù)表達式為y=k₂x+b₂．
將點A（10，0），C（4，-3）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{10{k}_{2}+_{2}=0}\\{4{k}_{2}+_{2}=-3}\end{array}\right.$．
∴直線CA的函數(shù)表達式為y=$\frac{1}{2}$x-5．
∴直線OP₃的函數(shù)表達式為y=$\frac{1}{2}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{1}{8}{x}^{2}-\frac{5}{4}x}\end{array}\right.$，
得：x²-14x=0，
即x（x-14）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=14}\\{y=7}\end{array}\right.$，
而點O（0，0），
∴P₃（14，7）．
過點P₃作P₃F⊥x軸于點F，則|P₃F|=7．
在Rt△OP₃F中，由勾股定理，
得OP₃=$\sqrt{{P}_{3}{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+1{4}^{2}}$=7$\sqrt{5}$．
而CA=AB=3$\sqrt{5}$．
∴在四邊形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|(zhì)CA|．
∴點P₃（14，7）是符合要求的點．
綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點P₁（6，-3），P₂（-6，12），P₃（14，7），
使以P，O，C，A為頂點的四邊形為梯形．

（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下．
①當拋物線開口向上時，則此拋物線與y軸的負半軸交于點N．
可設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=a（x-1.5k）²-$\frac{49}{4}$ak²．
如圖，過點M作MG⊥x軸于點G．
∵Q（-2k，0），R（5k，0），G（1.5k，0），N（0，-10ak²），M（1.5k，-$\frac{49}{4}$ak²），
∴QO=2k，QR=7k，OG=1.5k，QG=3.5k，ON=10ak²，MG=$\frac{49}{4}$ak²．
∴S_△QNR=$\frac{1}{2}$QR•ON=$\frac{1}{2}$×7k×10ak²=35ak³．
S_△QNM=S_△QNO+S_梯形ONMG-S_△QMG=$\frac{1}{2}$•QO•ON+$\frac{1}{2}$（ON+GM）•OG-$\frac{1}{2}$•QG•GM=$\frac{1}{2}$×2k×10ak²+$\frac{1}{2}$×（10ak²+$\frac{49}{4}$ak²）×1.5k-$\frac{1}{2}$×3.5k×$\frac{49}{4}$ak²=$\frac{21}{4}$ak³．
∴S△QNM：S△QNR=3：20．
②當拋物線開口向下時，則此拋物線與y軸的正半軸交于點N．
同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．
綜上可知，S_△QNM：S_△QNR的值為3：20．

點評 此題考查了拋物線解析式的確定、梯形的判定、三角形面積的求法等重要知識點，（2）（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．