【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖),已知拋物線y=ax2+4ax+c(a≠0)經(jīng)過A(0,4)B(3,1),頂點為C

(1)求該拋物線的表達方式及點C的坐標(biāo);

(2)(1)中求得的拋物線沿y軸向上平移m(m0)個單位,所得新拋物線與y軸的交點記為點D.當(dāng)△ACD時等腰三角形時,求點D的坐標(biāo);

(3)若點P(1)中求得的拋物線的對稱軸上,聯(lián)結(jié)PO,將線段PO繞點P逆時針轉(zhuǎn)90°得到線段PO′,若點O′恰好落在(1)中求得的拋物線上,求點P的坐標(biāo).

【答案】1y=x2+4x+4C坐標(biāo)為(﹣2,0);(2D坐標(biāo)為(0,2+4);(3P的坐標(biāo)為(﹣2,2),(﹣2,﹣1

【解析】

1)將AB坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出ac的值,即可確定出拋物線解析式,配方后即可求出頂點C的坐標(biāo);
2)由平移規(guī)律即C的坐標(biāo)表示出D的坐標(biāo),在直角三角形AOC中,由OAOC的長,利用勾股定理求出AC的長,由圖形得到∠DAC為鈍角,三角形ACD為等腰三角形,只有DA=AC,求出DA的長,即為m的值,即可確定出D的坐標(biāo);
3)由P在拋物線的對稱軸上,設(shè)出P坐標(biāo)為(-2,n),如圖所示,過O′O′Mx軸,交x軸于點M,過PPNO′M,垂足為N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對邊相等,再由同角的余角相等得到一對角相等,根據(jù)一對直角相等,利用AAS得到△PCO≌△PNO′,由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到O′N=OC=2,PN=PC=|n|,再由PCMN為矩形得到MN=PC=|n|,分n大于0與小于0兩種情況表示出O′坐標(biāo),將O′坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出相應(yīng)n的值,即可確定出P的坐標(biāo).

1)將A,B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得:
解得:
∴拋物線解析式為y=x2+4x+4=x+22,
∴頂點C坐標(biāo)為(-2,0);

2)由題意得:D0,m+4),

RtAOC中,OA=4,OC=2,

根據(jù)勾股定理得:

由圖形得到∠DAC為鈍角,要使△ACD為等腰三角形,只有DA=AC=2,

DA=m=2,

D坐標(biāo)為(0,2+4);

3)設(shè)P(﹣2,n),如圖所示,過O′O′Mx軸,交x軸于點M,過PPNO′M,垂足為N,

易得PO=PO′,∠PCO=PNO′=90°,∠CPO=NPO′,

∴△PCO≌△PNO′AAS),

O′N=OC=2,PN=PC=|n|,

∵四邊形PCMN為矩形,

MN=PC=|n|

①當(dāng)n0時,O′n2n+2),代入拋物線解析式得:n2n2=0

解得:n=2n=1(舍去);

②當(dāng)n0時,O′n2n+2),代入拋物線解析式得:n2n2=0,

解得:n=2(舍去)或n=1,

綜上①②得到n=2或﹣1,

P的坐標(biāo)為(﹣2,2),(﹣2,﹣1).

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