【題目】在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),得到△ADE,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°),點B的對應(yīng)點為點D,點C的對應(yīng)點為點E,連接BD,BE.

(1)如圖,當(dāng)α=60°時,延長BE交AD于點F.

①求證:△ABD是等邊三角形;

②求證:BF⊥AD,AF=DF;

③請直接寫出BE的長;

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,過點D作DG垂直于直線AB,垂足為點G,連接CE,當(dāng)∠DAG=∠ACB,且線段DG與線段AE無公共點時,請直接寫出BE+CE的值.

【答案】1①②詳見解析;③3﹣4;(213

【解析】試題分析:(1由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AB=AD,∠BAD=60°即可得證;BA=BD、EA=ED根據(jù)中垂線性質(zhì)即可得證;分別求出BF、EF的長即可得;(2)由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC∠BAE=∠BACAE=AC,根據(jù)三線合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3,繼而知CE=2CH=8、BE=5,即可得答案.

試題解析:(1①∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE

∴AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是等邊三角形;

△ABD是等邊三角形,

∴AB=BD,

∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE

∴AC=AE,BC=DE,

∵AC=BC

∴EA=ED,

B、EAD的中垂線上,

∴BEAD的中垂線,

FBE的延長線上,

∴BF⊥AD, AF=DF;

BF⊥AD,AF=DF

∴AF=DF=3,

∵AE=AC=5,

∴EF=4,

在等邊三角形ABD中,BF=ABsin∠BAF=6×=3,

∴BE=BF﹣EF=3﹣4;

2)如圖所示,

∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC,

∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°,

∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°,

∴∠BAE=∠ABC,

∵AC=BC=AE,

∴∠BAC=∠ABC,

∴∠BAE=∠BAC

∴AB⊥CE,且CH=HE=CE,

∵AC=BC,

∴AH=BH=AB=3,

CE=2CH=8BE=5,

∴BE+CE=13

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