【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3,0),B(1,0),C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點,設△PAC的面積為S,求S的最大值;
(3)設拋物線的頂點為D,DE⊥x軸于點E,在y軸上是否存在點M,使得△ADM是直角三角形?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2)當時,S有最大值.(3)點M的坐標為或或或
【解析】試題分析:(1)已知拋物線上的三點坐標,利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式;
(2)過點P作x軸的垂線,交AC于點N,先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,設P點坐標為(x,x2+2x-3),根據(jù)AC的解析式表示出點N的坐標,再根據(jù)S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積,運用頂點式就可以求出結論;
(3)分三種情況進行討論:①以A為直角頂點;②以D為直角頂點;③以M為直角頂點;設點M的坐標為(0,t),根據(jù)勾股定理列出方程,求出t的值即可.
試題解析:(1)由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣3,0),B(1,0),
可設拋物線的解析式為:y=a(x+3)(x﹣1),
將C點坐標(0,﹣3)代入,得:a(0+3)(0﹣1)=-3,解得 a=1.
∴拋物線的解析式為:y=(x+3)(x﹣1),即y=x2+2x﹣3
(2)如圖1,過點P作x軸的垂線,交AC于點N.
設直線AC的解析式為y=kx+m,由題意,得,解得.
∴直線AC的解析式為:y=﹣x﹣3.
設P點坐標為(x,x2+2x﹣3),
則點N的坐標為(x,﹣x﹣3),
∴PN=PE﹣NE=-(x2+2x﹣3)+(﹣x﹣3)=﹣x2﹣3x.
∵S△PAC=S△PAN+S△PCN,
∴.
∴當時,S有最大值.
(3)在y軸上存在點M,能夠使得△ADE是直角三角形.理由如下:
∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴頂點D的坐標為(﹣1,﹣4).
∵A(﹣3,0), ∴AD2=(﹣1+3)2+(﹣4﹣0)2=20.
設點M的坐標為(0,t),分三種情況進行討論:
①當A為直角頂點時,如圖2,
由勾股定理,得AM2+AD2=DM2,
即(0+3)2+(t﹣0)2+20=(0+1)2+(t+4)2,解得.
∴點M的坐標為
②當D為直角頂點時,如圖3,
由勾股定理,得DM2+AD2=AM2,
即(0+1)2+(t+4)2+20=(0+3)2+(t﹣0)2,解得
∴點M的坐標為
③當M為直角頂點時,如圖4,
由勾股定理,得AM2+DM2=AD2,
即(0+3)2+(t﹣0)2+(0+1)2+(t+4)2=20,
解得t=﹣1或﹣3
∴點M的坐標為(0,﹣1)或(0,﹣3).
綜上所述,在y軸上存在點M,能夠使得△ADE是直角三角形,此時點M的坐標為或或或
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【題目】如圖,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分線交BC于點D,那么∠ADC的度數(shù)為( )
A.120°
B.30°
C.60°
D.80°
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【題目】若a<﹣1,則方程x2+(1﹣2a)x+a2=0根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數(shù)根
B.有兩個相等的實根
C.沒有實數(shù)根
D.不能確定
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【題目】如圖(1),已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是過A的一條直線,且B,C在A,E的異側,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E
(1)試說明:BD=DE+CE.
(2)若直線AE繞A點旋轉到圖(2)位置時(BD<CE),其余條件不變,問BD與DE,CE的關系如何?請直接寫出結果;
(3)若直線AE繞A點旋轉到圖(3)位置時(BD>CE),其余條件不變,問BD與DE,CE的關系如何?請直接寫出結果,不需說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=64°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O,將∠C沿EF(E在BC上,F(xiàn)在AC上)折疊,點C與點O恰好重合,則∠OEC為度.
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【題目】在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,將△ABC繞點A按順時針方向旋轉,得到△ADE,旋轉角為α(0°<α<180°),點B的對應點為點D,點C的對應點為點E,連接BD,BE.
(1)如圖,當α=60°時,延長BE交AD于點F.
①求證:△ABD是等邊三角形;
②求證:BF⊥AD,AF=DF;
③請直接寫出BE的長;
(2)在旋轉過程中,過點D作DG垂直于直線AB,垂足為點G,連接CE,當∠DAG=∠ACB,且線段DG與線段AE無公共點時,請直接寫出BE+CE的值.
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【題目】如圖,將矩形ABCD繞點C旋轉得到矩形FECG,點E在AD上,延長ED交FG于點H.
(1)求證:△EDC≌△HFE;
(2)連接BE、CH.
①四邊形BEHC是怎樣的特殊四邊形?證明你的結論.
②當AB與BC的比值為 時,四邊形BEHC為菱形.
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