【題目】對于平面直角坐標系中的圖形M,N,給出如下定義:如果點P為圖形M上任意一點,點Q為圖形N上任意一點,那么稱線段PQ長度的最小值為圖形M,N的“近距離”,記作 d(M,N).若圖形M,N的“近距離”小于或等于1,則稱圖形M,N互為“可及圖形”.
(1)當⊙O的半徑為2時,
①如果點A(0,1),B(3,4),那么d(A,⊙O)=_______,d(B,⊙O)= ________;
②如果直線與⊙O互為“可及圖形”,求b的取值范圍;
(2)⊙G的圓心G在軸上,半徑為1,直線與x軸交于點C,與y軸交于點D,如果⊙G和∠CDO互為“可及圖形”,直接寫出圓心G的橫坐標m的取值范圍.
【答案】(1)① 1,3;②;(2),.
【解析】
(1) ①根據(jù)圖形M,N間的“近距離”的定義結(jié)合已知條件求解即可.
②根據(jù)可及圖形的定義作出符合題意的圖形,結(jié)合圖形作答即可;
(2)分兩種情況進行討論即可.
(1)① 如圖:
根據(jù)近距離的定義可知:d(A,⊙O)=AC=2-1=1.
過點B作BE⊥x軸于點E,則
OB= =5
∴d(B,⊙O)=OB-OD=5-2=3.
故答案為1,3.
② ∵由題意可知直線與⊙O互為“可及圖形”,⊙O的半徑為2,
∴.
∴.
∴ .
(2)①當⊙G與邊OD是可及圖形時,d(O,⊙G)=OG-1,
∴
即-1≤m-1≤1
解得:.
②當⊙G與邊CD是可及圖形時,如圖,過點G作GE⊥CD于E,
d(E,⊙G)=EG-1,
由近距離的定義可知d(E,⊙G)的最大值為1,
∴此時EG=2,
∵∠GCE=45°,
∴GC=2 .
∵OC=5,
∴OG=5-2.
根據(jù)對稱性,OG的最大值為5+2.
∴
綜上所述,m的取值范圍為:或
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【題目】為了維護海洋權(quán)益,新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度。一天,我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏,同時發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在C處海域。如圖所示,AB=60海里,在B處測得C在北偏東45的方向上,A處測得C在北偏西30的方向上,在海岸線AB上有一燈塔D,測得AD=120海里。
(1)分別求出A與C及B與C的距離AC,BC(結(jié)果保留根號)
(2)已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群,我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查,途中有無觸礁的危險?
(參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73,=2.45)
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【題目】中華文明,源遠流長,中華漢字,寓意深廣.為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某中學德育處組織了一次全校2000名學生參加的“漢字聽寫”大賽.為了解本次大賽的成績,學校德育處隨機抽取了其中200名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計,制成如下不完整的統(tǒng)計圖表:
成績x(分)分數(shù)段 | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | 0.2 |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x<100 | 50 | n |
頻數(shù)分布直方圖
根據(jù)所給的信息,回答下列問題:
(1)m=________;n=________;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這200名學生成績的中位數(shù)會落在________分數(shù)段;
(4)若成績在90分以上(包括90分)為“優(yōu)”等,請你估計該校參加本次比賽的2000名學生中成績是“優(yōu)”等的約有多少人?
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【題目】定義:在線段MN上存在點P、Q將線段MN分為相等的三部分,則稱P、Q為線段MN的三等分點.
已知一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N,且A、C為線段MN的三等分點(點A在點C的左邊).
(1)直接寫出點A、C的坐標;
(2)①二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點O、A、C,試求此二次函數(shù)的解析式;
②過點A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點,在此拋物線O、C之間取一點P(點P不與O、C重合)作PF⊥x軸于點F,PF交OC于點E,是否存在點P使得AP=BE?若存在,求出點P的坐標?若不存在,試說明理由;
(3)在(2)的條件下,將△OAB沿AC方向移動到△O'A'B'(點A'在線段AC上,且不與C重合),△O'A'B'與△OCD重疊部分的面積為S,試求當S=時點A'的坐標.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑, BC交⊙O于點D,E是的中點,連接AE交BC于點F,∠ACB =2∠EAB.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若,,求BF的長.
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【題目】如圖1,直線與軸交于點,與軸交于點拋物線經(jīng)過點、.
(1)求點的坐標和拋物線的解析式.
(2)為軸上一個動點,過點垂直于軸的直線與直線和拋物線分別交于點、.
①點在線段上運動,若以、、為頂點的三角形與相似,求點的坐標;
②點在軸上自由運動,若三個點、、中恰有一點是其他兩點所連線段的中點(三點重合除外),則稱、、三點為“共諧點”.請直接寫出使得、、三點成為“共諧點”的的值.
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【題目】(1)證明推斷:如圖(1),在正方形ABCD中,點E,Q分別在邊BC,AB上,DQ⊥AE于點O,點G,F分別在邊CD,AB上,GF⊥AE.
①求證:DQ=AE;
②推斷:的值為 ;
(2)類比探究:如圖(2),在矩形ABCD中,=k(k為常數(shù)).將矩形ABCD沿GF折疊,使點A落在BC邊上的點E處,得到四邊形FEPG,EP交CD于點H,連接AE交GF于點O.試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)拓展應用:在(2)的條件下,連接CP,當k=時,若tan∠CGP=,GF=2,求CP的長.
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【題目】某景區(qū)內(nèi)有一塊矩形油菜花田地(數(shù)據(jù)如圖示,單位:m.)現(xiàn)在其中修建一條觀花道(圖中陰影部分)供游人賞花.設改造后剩余油菜花地所占面積為ym2.
(1)求y與x的函數(shù)表達式;
(2)若改造后觀花道的面積為13m2,求x的值;
(3)若要求 0.5≤ x ≤1,求改造后剩余油菜花地所占面積的最大值.
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【題目】某服裝店老板到廠家選購、兩種品牌的羽絨服,品牌羽絨服每件進價比品牌羽絨服每件進價多元,若用元購進種羽絨服的數(shù)量是用元購進種羽絨服數(shù)量的倍.
(1)求、兩種品牌羽絨服每件進價分別為多少元?
(2)若品牌羽絨服每件售價為元,品牌羽絨服每件售價為元,服裝店老板決定一次性購進、兩種品牌羽絨服共件,在這批羽絨服全部出售后所獲利潤不低于元,則最少購進品牌羽絨服多少件?
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