Question

【題目】如圖矩形ABCD中AB=6，AD=4，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，把矩形ABCD沿過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)l折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的D′處，直線(xiàn)l與CD邊交于Q點(diǎn)．

（1）在圖（1）中利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出直線(xiàn)l．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和理由）

（2）若PD′⊥PD，①求線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度；②求sin∠QD′D．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）由（1）知，PD=PD′，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADP=∠BPD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=PB=4，得到AP=2；根據(jù)勾股定理得到PD==2，CD′==2，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

（1）連接PD，以P為圓心，PD為半徑畫(huà)弧交BC于D′，過(guò)P作DD′的垂線(xiàn)交CD于Q，

則直線(xiàn)PQ即為所求；

（2）由（1）知，PD=PD′，

∵PD′⊥PD，

∴∠DPD′=90°，

∵∠A=90°，

∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，

∴∠ADP=∠BPD′，

在△ADP與△BPD′中，，

∴△ADP≌△BPD′，

∴AD=PB=4，

∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4，

∴AP=2；

∴PD==2，

∵PD=PD′，PD⊥PD′，

∵DD′=PD=2，

∴CD′==2，

∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=．