【題目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,過點(diǎn)B的直線MN∥AC,D為BC邊上一點(diǎn),連接AD,作DE⊥AD交MN于點(diǎn)E,連接AE.
(1)如圖①,當(dāng)∠ABC=45°時(shí),求證:AD=DE;理由;
(2)如圖②,當(dāng)∠ABC=30°時(shí),線段AD與DE有何數(shù)量關(guān)系?并請說明理由;
(3)當(dāng)∠ABC=α時(shí),請直接寫出線段AD與DE的數(shù)量關(guān)系.(用含α的三角函數(shù)表示)
【答案】(1)證明見解析;(2)DE=AD, 理由見解析;(3)AD=DEtanα,理由見解析.
【解析】
試題(1)過點(diǎn)D作DF⊥BC,交AB于點(diǎn)F,得出∠BDE=∠ADF,∠EBD=∠AFD,即可得到△BDE≌△FDA,從而得到AD=DE;
(2)過點(diǎn)D作DG⊥BC,交AB于點(diǎn)G,進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD,證出△BDE∽△GDA即可得出答案;
(3)過點(diǎn)D作DG⊥BC,交AB于點(diǎn)G,進(jìn)而得出∠EBD=∠AGD,證出△BDE∽△GDA即可得出答案.
試題解析:(1)如圖1,過點(diǎn)D作DF⊥BC,交AB于點(diǎn)F,則∠BDE+∠FDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠FDE+∠ADF=90°,∴∠BDE=∠ADF,∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠C=45°,∵M(jìn)N∥AC,∴∠EBD=180°﹣∠C=135°,∵∠BFD=45°,DF⊥BC,∴∠BFD=45°,BD=DF,∴∠AFD=135°,∴∠EBD=∠AFD,在△BDE和△FDA中,∵∠EBD=∠AFD,BD=DF,∠BDF=∠ADF,∴△BDE≌△FDA(ASA),∴AD=DE;
(2)DE=AD,理由:
如圖2,過點(diǎn)D作DG⊥BC,交AB于點(diǎn)G,則∠BDE+∠GDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠GDE+∠ADG=90°,∴∠BDE=∠ADG,∵∠BAC=90°,∠ABC=30°,∴∠C=60°,∵M(jìn)N∥AC,∴∠EBD=180°﹣∠C=120°,∵∠ABC=30°,DG⊥BC,∴∠BGD=60°,∴∠AGD=120°,∴∠EBD=∠AGD,∴△BDE∽△GDA,∴,在Rt△BDG中,=tan30°=,∴DE=AD;
(3)AD=DEtanα;理由:
如圖2,∠BDE+∠GDE=90°,∵DE⊥AD,∴∠GDE+∠ADG=90°,∴∠BDE=∠ADG,∵∠EBD=90°+α,∠AGD=90°+α,∴∠EBD=∠AGD,∴△EBD∽△AGD,∴,在Rt△BDG中,=tanα,則=tanα,∴AD=DEtanα.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與坐標(biāo)軸分別交于、兩點(diǎn),拋物線過、兩點(diǎn),點(diǎn)為線段上一動點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn).
求拋物線的解析式.
求面積的最大值.
連接,是否存在點(diǎn),使得和相似?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市計(jì)劃購進(jìn)一批甲、乙兩種玩具,已知件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與件乙種玩具的進(jìn)價(jià)的和為元,件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與件乙種玩具的進(jìn)價(jià)的和為元.
(1)求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少元;
(2)如果購進(jìn)甲種玩具有優(yōu)惠,優(yōu)惠方法是:購進(jìn)甲種玩具超過件,超出部分可以享受折優(yōu)惠,若購進(jìn)件甲種玩具需要花費(fèi)元,請你寫出與的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩塊全等的三角板如圖1擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)將圖1中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,點(diǎn)P1是A1C與AB的交點(diǎn),點(diǎn)Q是A1B1與BC的交點(diǎn),求證:CP1=CQ;
(2)在圖2中,若AP1=a,則CQ等于多少?
(3)將圖2中△A1B1C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C(如圖3),點(diǎn)P2是A2C與AP1的交點(diǎn).當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí),有△AP1C∽△CP1P2?這時(shí)線段CP1與P1P2之間存在一個(gè)怎樣的數(shù)量關(guān)系?.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC中,AD是∠BAC的角平分線,E為AD上一點(diǎn),以BE為一邊且在BE下方作等邊△BEF,連接CF.
(1)求證:AE=CF;
(2)求∠ACF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人兩次同時(shí)在同一家超市采購貨物(假設(shè)兩次采購貨物的單價(jià)不相同),甲每次采購貨物100千克,乙每次采購貨物用去100元.
(1)假設(shè)a、b分別表示兩次采購貨物時(shí)的單價(jià)(單位:元/千克),試用含a、b的式子表示:甲兩次采購貨物共需付款 元,乙兩次共購買 千克貨物.
(2)請你判斷甲、乙兩人采購貨物的方式哪一個(gè)的平均單價(jià)低,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)A、點(diǎn)B分別是y軸、x軸上的兩個(gè)動點(diǎn),點(diǎn)C在第三象限,直角邊AC交x軸于點(diǎn)D,斜邊BC交y軸于點(diǎn)E.
(1)若A(0,1),B(2,0),畫出圖形并求C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D恰為AC中點(diǎn)時(shí),連接DE,畫出圖形,判斷∠ADB和∠CDE大小關(guān)系,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí);
①求一次函數(shù)的表達(dá)式;
②平分交軸于點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若△為等腰三角形,求的值;
(3)若直線也經(jīng)過點(diǎn),且,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用一條24cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形。
(1)如果腰長是底邊的2倍,那么各邊的長是多少?
(2)能圍成有一邊長為4cm的等腰三角形嗎?為什么?
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