Question

【題目】如圖，直線交軸于點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)P為直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于D，連接AP．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)三角形相似；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）先求出A，B的坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，解出a，c的值，即可求出拋物線解析式；

（2）分①當(dāng)時(shí)和②當(dāng)時(shí)兩種情況討論即可；

（3）先將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，得出拋物線的對(duì)稱軸為：x=-1，根據(jù)，得出AO=3，BO=，然后設(shè)O（-1，m），解出m值，分①當(dāng)O（-1，）時(shí)和②當(dāng)O（-1，-）時(shí)兩種情況討論即可．

（1）∵直線交軸于A，B，

，

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，

∴，

解得，

∴拋物線解析式為；

（2）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為拋物線與x軸的交點(diǎn)，

令，

解得（舍去）

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

②當(dāng)時(shí)，，

，

過(guò)點(diǎn)B作，且使得，則P點(diǎn)必在直線AE與拋物線的交點(diǎn)上，

做軸于點(diǎn)F，

，

，

，

，

，

，

設(shè)直線AE的解析式為

則，

解得，

∴直線AE的解析式為，

解方程組

解得，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

∴當(dāng)或（1，0）時(shí)三角形相似；

（3）由題拋物線的解析式為，

∴拋物線的對(duì)稱軸為：x=-1，

∵，

∴AO=3，BO=，

∴設(shè)O（-1，m），

則有AO==AO=3，

解得：m=或m=，

①當(dāng)O（-1，）時(shí)，

設(shè)AO的解析式為：y=ax+b，

將A（-3，0），O（-1，）代入得，

解得，

∴AO的解析式為：y=x+，

∵BO⊥AO，

∴可設(shè)BO的解析式為：y=x+b1，

將O（-1，）代入得=×（-1）+b1，

解得b1=，

∴BO的解析式為：y=x+，

設(shè)B的坐標(biāo)為（x，x+），

則BO==BO=，

解得x1=-1-，x2=-1-(不符合此時(shí)的情況，舍去)，

將x1代入x+=1+，

∴B的坐標(biāo)為（-1-，1+）；

②當(dāng)O（-1，-）時(shí)，

同理可得B的坐標(biāo)為（-1+，1-）；

綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．