Question

19．如圖1，正方形OABC的邊長為4，E為OC邊上任一點(diǎn)，F(xiàn)為OA延長線上一點(diǎn)，CE=AF，EF交CA于點(diǎn)D，連接BE、BF、BD．（2）試判斷BD與EF之間的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；
（1）求證：△BCE≌△BAF；
（2）試判斷BD與EF之間的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；
（3）直線OB交AC于點(diǎn)M，過M點(diǎn)的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上有一動點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與直線OB交于點(diǎn)N，（如圖2），是否存在以點(diǎn)O、A、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出結(jié)論判斷出△BCE≌△BAF；
（2）先判斷出△BEF是等腰直角三角形，作出輔助線得出EG=AF，判斷出△GED≌△AFD，從而得出結(jié)論；
（3）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，得出拋物線解析式，由平行四邊形的性質(zhì)得出只要PN=OA即可，設(shè)出，點(diǎn)P坐標(biāo)，用PN=OA建立方程即可．

解答 解（1）BD⊥EF，BD=$\frac{1}{2}$EF．
理由：如圖，
在正方形OABC中，∠ABC=∠BCO=∠BAF=90°，BC=AB，
在△BCE和△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠BCE=∠BAF}\\{CE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BAF，
（2）由（1）得，△BCE≌△BAF，
∴BE=BF，∠CBE=∠ABF，
∴∠EBF=∠CBA=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
作EG∥AF，
∴∠GED=∠AFD，∠DGE=∠DAF，
∵∠OCA=45°，
∴CE=EG=AF，
∴在△GED和△AFD中$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠DFA}\\{EG=AF}\\{∠DGE=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△GED≌△AFD，
∴DE=DF，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BD⊥EF，BD=$\frac{1}{2}$EF．
（3）∵正方形OABC的邊長為4，
∴B（4，4），A（0，4），C（4，0），
∴直線OB解析式為y=x①，直線AC解析式為y=-x+4②，聯(lián)立①②得出M（2，2）
∵過M點(diǎn)的反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，
∴k=2×2=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∵以點(diǎn)O、A、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且PN∥OA，
∴PN=OA，
∵OA=4，
設(shè)P（m，$\frac{4}{m}$），
則N（$\frac{4}{m}$，$\frac{4}{m}$），
∴PN=|m-$\frac{4}{m}$|=4，
∴m=2±2$\sqrt{2}$或m=-2±2$\sqrt{2}$，
∴P（2+$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2）或（2-2$\sqrt{2}$，-2-2$\sqrt{2}$）或（-2+2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$）或（-2-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出DE=DF．