Question

11．已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）三點．
（1）請直接寫出拋物線的解析式．
（2）連接BC，將直線BC平移，使其經(jīng)過點A，且與拋物線交于點D，求點D的坐標．
（3）在（2）中的線段AD上有一動點E（不與點A、點D重合），過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△AFD的面積最大？求出此時點E的坐標和△AFD的最大面積．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式；
（2）先確定出直線BC解析式，再確定出AD解析式，和拋物線解析式聯(lián)立求出點D坐標；
（3）先判斷出平行于直線AD并且和拋物線只有一個交點時的點F是三角形ADF面積最大，設(shè)出直線解析式，代入拋物線解析式中用判別式求出n即得出直線l解析式，從而求出點E，F(xiàn)坐標，用面積和求出即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（4，0），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
∵C（0，-2）在拋物線上，
∴-2=a×1×（-4），
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2①，
（2）設(shè)直線BC解析式為y=kx-2，
∵B（4，0）
∴4k-2=0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直線BC解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∵直線BC平移，使其經(jīng)過點A（-1，0），且與拋物線交于點D，
∴直線AD解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$②，
聯(lián)立①②解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴D（5，3），
（3）∵A（-1，0），D（5，3），
∴以AD為底，點F到AD的距離越大，三角形ADF面積越大，
作l∥AD，當l與拋物線只有一個交點時，點F到AD的距離最大，
設(shè)l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+n③，
聯(lián)立①③轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程為：x²-4x-2n-4=0，
∴△=16-4（-2n-4）=0，
∴n=-4，
∴直線l的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-4，
∴x²-4x+4=0，
∴x=2，
將x=2代入y=$\frac{1}{2}$x-4得，y=-3，
∴F（2，-3），
∴E（2，$\frac{3}{2}$），
∴EF=$\frac{9}{2}$，
∴S_{△AFD的最大面積}$\frac{1}{2}$EF×|x_E-x_A|+$\frac{1}{2}$EF×|x_D-x_E|
=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3
=$\frac{27}{2}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點坐標，一元二次方程的判別式，面積公式，解本題的關(guān)鍵是求出直線AD解析式．