Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點．

（1）求△AOB的外接圓的面積；

（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位沿射線AC方向運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位沿射線BA方向運動，當點P到達點C處時，兩點同時停止運動．問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？

（3）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．

①是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

②當點M運動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形CBAN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）π；（2）當t=時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似；（3）．①不存在；②M（，-6），四邊形CBAN面積的最大值為：．

【解析】

試題（1）由題意得△AOB為直角三角形，分別求得拋物線y＝x2－x－12與x軸、y軸的交點A、B的坐標，再根據(jù)勾股定理求得AB的長，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（2）由AP＝2t，AQ＝15－t，易求得AC=12，再分△APQ∽△AOB與△AQP∽△AOB兩種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（3）①先求得直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y＝x－12，設點M的橫坐標為x，則M（x，x－12），N（x，x2－x－12），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得MN＝OB＝12，即可得到(x－12)－(x2－x－12)＝12 ，而此方程的△＜0，無實數(shù)根，故不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；

②由S四邊形CBNA= S△ACB+ S△ABN="72+" S△ABN可得S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝－2(x－)2＋，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

（1）由題意得：A（9，0），B（0，－12）

∴OA＝9，OB＝12，

∴AB＝15

∴S＝π·()2＝π；

（2）AP＝2t，AQ＝15－t，易求AC=12，∴0≤t≤6

若△APQ∽△AOB，則＝．∴t＝．

若△AQP∽△AOB，則＝．∴t＝＞6（舍去）．

∴當t＝時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似．

（3）直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y＝x－12．

設點M的橫坐標為x，則M（x，x－12），N（x，x2－x－12）．

若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN＝OB＝12

∴(x－12)－(x2－x－12)＝12

即x2－9x＋27＝0

∵△＜0，

∴此方程無實數(shù)根，

∴不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；

②∵S四邊形CBNA= S△ACB+ S△ABN="72+" S△ABN

∵S△AOB＝54，S△OBN＝6x，S△OAN＝·9·＝－2x2＋12x＋54

∴S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝－2(x－)2＋

∴當x＝時，S△ABN最大值＝

此時M（，－6），S四邊形CBNA最大=．