【題目】如圖1,經(jīng)過原點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為點C;與雙曲線y= 相交于點A,B;直線AB與分別與x軸、y軸交于點D,E.已知點A的坐標(biāo)為(﹣1,4),點B在第四象限內(nèi)且到x軸、y軸的距離相等.
(1)求雙曲線和拋物線的解析式;
(2)計算△ABC的面積;
(3)如圖2,將拋物線平移至頂點在原點上時,直線AB隨之平移,試判斷:在y軸的負(fù)半軸上是否存在點P,使△PAB的內(nèi)切圓的圓心在y軸上?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:把點A的坐標(biāo)代入雙曲線的解析式得:k=﹣1×4=﹣4.
所以雙曲線的解析式為y=﹣ .
設(shè)點B的坐標(biāo)為(m,﹣m).
∵點B在雙曲線上,
∴﹣m2=﹣4,解得m=2或m=﹣2.
∵點B在第四象限,
∴m=2.
∴B(2,﹣2).
將點A、B、C的坐標(biāo)代入得: ,
解得: .
∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x.
(2)解:如圖1,連接AC、BC.
令y=0,則x2﹣3x=0,
∴x=0或x=3,
∴C(3,0),
∵A(﹣1,4),B(2,﹣2),
∴直線AB的解析式為y=﹣2x+2,
∵點D是直線AB與x軸的交點,
∴D(1,0),
∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6;
(3)解:存在,理由:如圖2,
由原拋物線的解析式為y=x2﹣3x=(x﹣ )2﹣ ,
∴原拋物線的頂點坐標(biāo)為( ,﹣ ),
∴拋物線向左平移 個單位,再向上平移 個單位,
而平移前A(﹣1,4),B(2,﹣2),
∴平移后點A(﹣ , ),B( , ),
∴點A關(guān)于y軸的對稱點A'( , ),
連接A'B并延長交y軸于點P,連接AP,
由對稱性知,∠APE=∠BPE,
∴△APB的內(nèi)切圓的圓心在y軸上,
∵B( , ),A'( , ),
∴直線A'B的解析式為y=3x﹣ ,
∴P(0,﹣ ).
【解析】(1)首先將點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求得k的值,然后再求得B的值,最后根據(jù)點A的坐標(biāo)求出雙曲線的解析式,進(jìn)而得出點B的坐標(biāo),最后,將點A、B、O三點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,求得a、b、c的值即可;
(2)由點A和點B的坐標(biāo)可求得直線AB的解析式,然后將y=0可求得點D的橫坐標(biāo),最后用三角形的面積和求解即可;
(3)先確定出平移后點A,B的坐標(biāo),進(jìn)而求出點A關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo),求出直線BA'的解析式即可得出點P的坐標(biāo).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某風(fēng)景區(qū)門票價格如圖所示,黃岡赤壁旅游公司有甲、乙兩個旅游團(tuán)隊,計劃在“五一”小黃金周期間到該景點游玩.兩團(tuán)隊游客人數(shù)之和為120人,乙團(tuán)隊人數(shù)不超過50人,設(shè)甲團(tuán)隊人數(shù)為x人.如果甲、乙兩團(tuán)隊分別購買門票,兩團(tuán)隊門票款之和為W元.
(1)求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)若甲團(tuán)隊人數(shù)不超過100人,請說明甲、乙兩團(tuán)隊聯(lián)合購票比分別購票最多可可節(jié)約多少錢;
(3)“五一”小黃金周之后,該風(fēng)景區(qū)對門票價格作了如下調(diào)整:人數(shù)不超過50人時,門票價格不變;人數(shù)超過50人但不超過100人時,每張門票降價a元;人數(shù)超過100人時,每張門票降價2a元,在(2)的條件下,若甲、乙兩個旅行團(tuán)隊“五一”小黃金周之后去游玩,甲乙兩團(tuán)隊聯(lián)合購票比分別購票最多節(jié)約3400元,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為節(jié)約水資源,制定了新的居民用水收費標(biāo)準(zhǔn).按照新標(biāo)準(zhǔn),用戶每月繳納的水費y(元)與每月用水量x(m3)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)若某用戶二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超過25m3),繳納水費79.8元,則該用戶二、三月份的用水量各是多少m3?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD定點A、B在y軸、x軸上,當(dāng)B在x軸上運動時,A隨之在y軸運動,矩形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,運動過程中,點D到點O的最大距離為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】霧霾天氣已經(jīng)成為人們普遍關(guān)注的話題,霧霾不僅僅影響人們的出行,還影響著人們的健康.在2017年2月周末休息期間,某校九年級一班綜合實踐小組的同學(xué)以“霧霾天氣的主要成因”為主題,隨機調(diào)查了太原市部分市民的觀點,并對調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了整理,繪制了如下不完整的統(tǒng)計表及統(tǒng)計圖,觀察并回答下列問題:
類別 | 霧霾天氣的主要成因 | 百分比 |
A | 工業(yè)污染 | 45% |
B | 汽車尾氣排放 | m |
C | 城中村燃煤問題 | 15% |
D | 其他(綠化不足等) | n |
(1)請你求出本次被調(diào)查市民的人數(shù)及m,n的值,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)若該市有800萬人口,請你估計持有B,C兩類看法的市民共有多少人?
(3)小明同學(xué)在四個質(zhì)地、大小、形狀都完全相同的小球上標(biāo)記A,B,C,D代表四個霧霾天氣的主要成因中,放在一個不透明的盒子中,他先隨機抽取一個小球,放回去,再隨機抽取一個小球,請用畫樹狀圖或列表的方法,求出小穎同學(xué)剛好抽到B和D的概率.(用A,B,C,D表示各項目)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長方形ABCD,AB=CD=4,BC=AD=8,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,E為CD邊的中點,P為長方形ABCD邊上的動點,動點P從A出發(fā),沿著A B C E運動到E點停止,設(shè)點P經(jīng)過的路程為,APE的面積為.
(1)當(dāng)時,在圖1中畫出草圖,并求出對應(yīng)的值;
(2)利用備用圖畫出草圖,寫出與之間的關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一副三角板,
(1)按如圖①所示方式放置,點三點共線,,求的度數(shù);
(2)在(1)的條件下,若分別是與內(nèi)部的一條射線,且均以點為中心,分別從位置出發(fā),以度/秒、度/秒的旋轉(zhuǎn)速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)與重疊時,所有旋轉(zhuǎn)均停止,試說明:當(dāng)旋轉(zhuǎn)秒后,
(3)若三角板 (不含角)是一塊非標(biāo)準(zhǔn)三角板,按如圖②所示方式放置,使,作射線,若,求與的度數(shù)之比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】民族圖案是數(shù)學(xué)文化中的一塊瑰寶.下列圖案中,既不是中心對稱圖形也不是軸對稱圖形的是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,∠BAC的平分線交⊙O于點D,過點D的直線分別交AB,AC的延長線于點E,F(xiàn),AF⊥EF.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)小強同學(xué)通過探究發(fā)現(xiàn):AF+CF=2AO,請你幫助小強同學(xué)證明這一結(jié)論.
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