【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點(A在B的左邊),與y軸交于點C,拋物線上有一動點P
(1)若A(﹣2,0),C(0,﹣4)
①求拋物線的解析式;
②在①的情況下,若點P在第四象限運(yùn)動,點D(0,﹣2),以BD、BP為鄰邊作平行四邊形BDQP,求平行四邊形BDQP面積的取值范圍.
(2)若點P在第一象限運(yùn)動,且a<0,連接AP、BP分別交y軸于點E、F,則問 是否與a,c有關(guān)?若有關(guān),用a,c表示該比值;若無關(guān),求出該比值.
【答案】
(1)
解:①∵A(﹣2,0),C(0,﹣4)在拋物線上,
∴ ,解得 ,
∴拋物線解析式為y=x2﹣4;
②如圖1,連接DB、OP,設(shè)P(x,x2﹣4),
∵A(﹣2,0),對稱軸為y軸,
∴B(2,0),
∴S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD= OD|x|+ OB|x2﹣4|﹣ ODOB=x+4﹣x2﹣2=﹣x2+x+2=﹣(x﹣ )2+ ,
∵點P在第四象限運(yùn)動,
∴0<x<2,
∴當(dāng)x= 時,S△BDP有最大值 ,當(dāng)x=2時,S△BDP有最小值0,
∴0<S△BDP≤ ,
∵四邊形BDQC為平行四邊形,
∴S四邊形BDQP=2S△BDP,
∴0<S四邊形BDQP≤ ;
(2)
解:如圖2,過點P作PG⊥AB,設(shè)A(x1,0),B(x2,0),P(x,y),
∵PG∥y軸,
∴△AOE∽△AGP,△BGP∽△BOF,
∴ = , = ,
∴ = , = ,
∴ + = + = = ,
當(dāng)y=0時,可得ax2+c=0,
∴x1+x2=0,x1x2= ,
∴ + = = = ,
∴OE+OF=2c,
∴ = =2,
∴ = = = =1,
∴ 的值與a,c無關(guān),比值為1.
【解析】(1)①由A、C兩點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;②連接BD、OP,設(shè)出P點坐標(biāo),利用S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD可用x表示出四邊形BDQP的面積,借助x的取值范圍,可求得四邊形BDQP面積的取值范圍;(2)過點P作PG⊥AB,設(shè)A(x1 , 0),B(x2 , 0),P(x,y),由△AOE∽△AGP、△BGP∽△BOF,利用相似三角形的性質(zhì)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可整理得到 =2,再利用三角形的面積可得 的值.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的性質(zhì)(對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形).
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【題目】如圖,菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上,連接CF.
(1)求證:∠HEA=∠CGF;
(2)當(dāng)AH=DG時,求證:菱形EFGH為正方形.
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【題目】求下列各式中的x:
(1)16x2-361=0; (2)(x-1)2=25;
(3)27=216; (4) (x-2)3= .
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【題目】如圖,已知CD⊥AB于點D,BE⊥AC于點E,CD、BE交于點O,且AO平分∠BAC,則圖中的全等三角形共有( 。
A. 1對 B. 2對 C. 3對 D. 4對
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【題目】動手操作:如圖①是一個長為2a,寬為2b的長方形,沿圖中的虛線剪開分成四個大小相等的長方形,然后按照圖②所示拼成一個正方形.
提出問題:
(1)觀察圖②,請用兩種不同的方法表示陰影部分的面積:_____________,_____________;
(2)請寫出三個代數(shù)式(a+b)2,(a-b)2,ab之間的一個等量關(guān)系:___________________________;
問題解決:根據(jù)上述(2)中得到的等量關(guān)系,解決下列問題:已知x+y=8,xy=7,求x-y的值.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是高,AF是△ABC外角∠CAD的平分線.
(1)用尺規(guī)作圖:作∠AEC的平分線EN(保留作圖痕跡,不寫作法和證明);
(2)設(shè)EN與AF交于點M,判斷△AEM的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點,過點D作⊙O的切線BC于點M,切點為N,則DM的長為( )
A.
B.
C.
D.2
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