Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交⊙O于點(diǎn)E，∠ACB的平分線CF交⊙O于點(diǎn)F，BE和CF相交于點(diǎn)D，四邊形AFDE是菱形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】四邊形AFDE是菱形．證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：由AB＝AC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，可證∠ABE＝∠EBC＝∠ACF＝∠FCB，再由圓周角定理的推論可證∠FAB＝∠ABE＝∠EAC＝∠ACF.從而可證四邊形AFDE是平行四邊形,再證AF＝AE,即證四邊形AFDE是菱形.

解：四邊形AFDE是菱形．

證明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

又∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠ABE＝∠EBC＝∠ACF＝∠FCB.

∵∠FAB，∠FCB是同弧所對(duì)的圓周角，

∴∠FAB＝∠FCB，

同理∠EAC＝∠EBC.

∴∠FAB＝∠ABE＝∠EAC＝∠ACF.

∴AF∥ED，AE∥FD，

∴四邊形AFDE是平行四邊形．

∵∠ABE＝∠ACF，

∴＝，

∴AF＝AE.

∴四邊形AFDE是菱形．