Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，其中點B的坐標為（4，0），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求拋物線y＝﹣+bx+c和直線BC的函數表達式；

（2）點P是直線BC上方的拋物線上一個動點，當點P到直線BC的距離最大時，求點P的坐標；

（3）連接點O與（2）中求出的點P，交直線BC于點D，點N是直線BC上的一個動點，連接ON，作DF⊥ON于點F，點F在線段ON上，當OD＝DF時，請直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）P（2，3）；（3）或

【解析】

（1）分別利用待定系數法求解即可；

（2）作PQ⊥x軸交BC于Q，連結PC，PB，表示出PQ，根據PQ最大時，S△PBC最大，此時，P到BC的距離最大進行求解；

（3）分N在D的右邊和左邊兩種情況討論，可得△DON～△DBO，然后求出DN，BN，從而進一步求出N的坐標．

解：（1）將代入，

得，解得 ，

∴；

設BC：y＝kx+m，

則，解得：，

∴；

（2）作PQ⊥x軸交BC于Q，連結PC，PB

設，，

∴，

∴當x＝2，PQ最大值為2，

∵，

∴當PQ最大時，S△PBC最大，此時，P到BC的距離最大，

∴P（2，3）；

（3）由（2）得P（2，3）

∴直線，

聯立，解得 ，

∴，

∴，

∴；

①當N在D的右側時，如圖，作NG⊥OB于G，

∵OC＝2，BC＝，

∴，

∴∠DON＝∠OBC，

∴△DON～△DBO，

∴，

∴OD2＝DNBD，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

②當N在D的左側時，

同理可得：，，，

∴，

綜上所述：或．