【題目】已知:如圖1,二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c(a>0)的圖象與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣4),與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;

(2)點(diǎn)P(t,0)是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)(不與O、B重合),點(diǎn)E是線段BC上的點(diǎn),以點(diǎn)B、P、E為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似,連結(jié)CP,求CPE的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)如圖2,若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)Q,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),則存在這樣的直線,使得ODF為等腰三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo).

【答案】(1)y=x2﹣x﹣4;(2)S=﹣t2t+(3)存在這樣的直線l,使得ODF是等腰三角形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q1(1+,﹣2)或Q2(1﹣,﹣2)或Q3(1+,﹣3)或Q4(1﹣,﹣3).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

(2)可先設(shè)P的坐標(biāo)為(m,0);根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得SBEP,根據(jù)SCPE=SBOC﹣SBPE﹣SOPC,可得函數(shù)關(guān)系式;

(3)本題要分三種情況進(jìn)行求解:①當(dāng)OD=OF時(shí),根據(jù)等腰直角三角形,可得出F的坐標(biāo)應(yīng)該是(2,2),根據(jù)F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出Q的坐標(biāo);②當(dāng)OF=DF時(shí),根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),可得OM=1,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得FM=AM=3,也就得出了F的縱坐標(biāo),根據(jù)①的方法求出Q的坐標(biāo);③當(dāng)OD=OF時(shí),OF=2,由于O到AC的最短距離為2,因此此種情況是不成立的,綜合上面的情況即可得出符合條件的P的坐標(biāo)

解:(1)把C(0,﹣4)和A(4,0)代入y=ax2﹣2ax+c(a>0)得,

,解得

解析式為y=x2﹣x﹣4;

(2)BP=t+2,OP=﹣t,SABC=4×6÷2=12,SOPC=4×(﹣t)÷2=2t,

BPE∽△BAC,則=

=(2,SBPE=(2×12=

SCPE=SBOC﹣SBPE﹣SOPC=4﹣﹣(﹣2t)=﹣t2+t+

BEP∽△BAC,則=,

=(2,SBEP=(2×12=

SCPE=SBOC﹣SBPE﹣SOPC=4﹣﹣(﹣2t)=﹣t2t+

(3)存在這樣的直線,使得ODF是等腰三角形,理由為:

ODF中,分三種情況考慮:

①若DO=DF,如圖1:

,

A(4,0),D(2,0),

AD=OD=DF=2

又在RtAOC中,OA=OC=4,

∴∠OAC=45°,

∴∠DFA=OAC=45°

∴∠ADF=90°,

此時(shí),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,﹣2),

x2﹣x﹣4=﹣2,

解得:x1=1+,x2=1﹣,

此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(1+,﹣2)或P(1﹣,﹣2);

②若FO=FD,過點(diǎn)F作FMx軸于點(diǎn)M,如圖2:

,

由等腰三角形的性質(zhì)得:OM=OD=1,

AM=3,

在等腰直角AMF中,MF=AM=3,

F(1,3),

x2﹣x﹣4=﹣3,

解得:x1=1+,x2=1﹣

此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(1+,﹣3)或P(1﹣,﹣3);

③若OD=OF,

OA=OC=4,且AOC=90°,

AC=4 ,

點(diǎn)O到AC的距離為2√2,而OF=OD=2<2√2,與OF≥2√2矛盾,

所以AC上不存在點(diǎn)使得OF=OD=2,

此時(shí),不存在這樣的直線l,使得ODF是等腰三角形;

綜上所述,存在這樣的直線l,使得ODF是等腰三角形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q1(1+,﹣2)或Q2(1﹣,﹣2)或Q3(1+,﹣3)或Q4(1﹣,﹣3).

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(1)李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元,那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元?

(2)設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為w(元),當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每月可獲得最大利潤(rùn)?

(3)物價(jià)部門規(guī)定,這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元.如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于3000元,那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元?

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