Question

【題目】如圖，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與A點(diǎn)重合，折痕為EF．

（1）判斷四邊形AFCE的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）若AB=4，BC=8，求折痕EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形AFCE是菱形，

理由：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

由折疊的性質(zhì)可得：OA=OC，AE=CE，AF=CF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴AE=CF，

∴AE=CE=CF=AF，

∴四邊形AFCE是菱形

（2）解：連接AC交EF于點(diǎn)O，

由勾股定理知AC=4 ，

又∵折疊矩形使C與A重合時(shí)有EF⊥AC，

則Rt△EOC∽R(shí)t△ABC，

∴ = = ，

∴OE= OC= ×2 ，

故EF=2OE=2 ．

【解析】（1）抓住已知條件，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與A點(diǎn)重合，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出OA=OC，AE=CE，AF=CF，∠EAO=∠FCO，，再證明△AEO≌△CFO，從而得出AE=CF，即可證明四邊形AFCE的四邊相等，即可得出結(jié)論。
（2）根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再證明Rt△EOC∽R(shí)t△ABC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，建立方程，求出OE的長(zhǎng)，即可得到EF的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的判定方法的相關(guān)知識(shí)，掌握任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形，以及對(duì)矩形的性質(zhì)的理解，了解矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等．