Question

（1）如圖1，圖2，圖3，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD相交于點(diǎn)O．
①如圖1，試說明：△ABE≌△ADC；
②探究：如圖1，∠BOC=

 

；如圖2，∠BOC=

 

；如圖3，∠BOC=

 

；
（2）如圖4，AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE，CD的延長相交于點(diǎn)O，試猜想：圖4中∠BOC=

 

．（用含n的式子表示）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),多邊形內(nèi)角與外角,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出△DAC≌△BAE，再根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以求出∠BOC的值，在圖2中，連結(jié)BD，然后用同樣的方法證明△DAC≌△BAE，根據(jù)三角形外角與內(nèi)角之間的關(guān)系就可以求出∠BOC的值，依此類推就可以得出當(dāng)作n邊形的時(shí)候就可以求出圖4∠BOC的值．

解答：①證明：如圖1，

∵△ABD和△AEC是等邊三角，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△DAC和△BAE中，

DA=BA ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）．

②解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADC+∠OBA，
∴∠BOC=∠BDA+∠OBD=60°+60°=120°=

360°

3

．
如圖2，連結(jié)BD，

∵四邊形ABFD和四邊形ACGE是正方形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，∠BDA=∠DBA=45°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠CAD．
在△DAC和△BAE中，

BA=DA ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠DBA=45°+45°=90°=

360°

4

；
如圖3，連結(jié)BD，
，
∵五邊形ABHFD和五邊形ACIGO是正五邊形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=108°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE，∠ABD=∠ADB=36°
∴∠BAE=∠DAC
在△BAE和△DAC中，

BA=DA ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=∠OBD+∠BDO，
∴∠BOC=∠ADB+∠ADC+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABD=72°=

360°

5

．
（2）以此類推，當(dāng)作正n邊形時(shí)，∠BOC=

360°

n

．
故答案為：120°，90°，72°，

360°

n

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)證明三角形全等是解題關(guān)鍵．