【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD、BE、CF分別是三邊上的中線.
(1)若AC=1,BC=.求證:AD2+CF2=BE2;
(2)是否存在這樣的Rt△ABC,使得它三邊上的中線AD、BE、CF的長恰好是一組勾股數(shù)?請(qǐng)說明理由.(提示:滿足關(guān)系a2+b2=c2的3個(gè)正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù).)
【答案】(1)證明見解析;(2)不存在這樣的Rt△ABC,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)連接FD,根據(jù)三角形中線的定義求出CD、CE,再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得FD=AC,然后分別利用勾股定理列式求出AD2、CF2、BE2即可得證;
(2)設(shè)兩直角邊分別為a、b,根據(jù)(1)的思路求出AD2、CF2、BE2,再根據(jù)勾股定理列出方程表示出a、b的關(guān)系,然后用a表示出AD、CF、BE,再進(jìn)行判斷即可.
試題解析:(1)證明:如圖,連接FD.∵AD、BE、CF分別是三邊上的中線,∴CD=BC=,CE=AC=,FD=AC=,由勾股定理得,AD2=AC2+CD2=12+()2=,CF2=CD2+FD2=()2+()2=,BE2=BC2+CE2=()2+()2=+=,∴AD2+CF2=BE2;
(2)解:設(shè)兩直角邊分別為a、b.∵AD、BE、CF分別是三邊上的中線,∴CD=a,CE=b,FD=AC=a,由勾股定理得,AD2=AC2+CD2=b2+(a)2=a2+b2,CF2=CD2+FD2=(a)2+(b)2=a2+b2,BE2=BC2+CE2=a2+(b)2=a2+b2.∵AD2+CF2=BE2,∴a2+b2+a2+b2=a2+b2,整理得,a2=2b2,∴AD=b,CF=b,BE=b,∴CF:AD:BE=1: .∵沒有整數(shù)是和的倍數(shù),∴不存在這樣的Rt△ABC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A,B兩點(diǎn)在數(shù)軸上,點(diǎn)A表示的數(shù)為-10,OB=3OA,點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng).點(diǎn)N以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)M、點(diǎn)N同時(shí)出發(fā))
(1)數(shù)軸上點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是______.
(2)經(jīng)過幾秒,點(diǎn)M、點(diǎn)N分別到原點(diǎn)O的距離相等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓O的直徑為10 cm,兩條直徑AB,CD相交成90°角,∠AOE=50°,OF是∠BOE的平分線.
(1)求圓心角∠COF的度數(shù);
(2)求扇形COF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一架方梯AB長25米,如圖所示,斜靠在一面上:
(1)若梯子底端離墻7米,這個(gè)梯子的頂端距地面有多高?
(2)在(1)的條件下,如果梯子的頂端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,每小正方形的邊長為個(gè)單位,每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn).
(1)畫出的邊上的中線;
(2)畫出向右平移個(gè)單位后得到的;
(3)圖中與的關(guān)系是 ;
(4)能使的格點(diǎn)(不同于點(diǎn)),共有 個(gè),在圖中分別用、、表示出來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求證:△DEF是等腰三角形;
(2)當(dāng)∠A=40°時(shí),求∠DEF的度數(shù);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了豐富少年兒童的業(yè)余生活,某社區(qū)要在如圖所示AB所在的直線建一圖書室,本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km,試問:圖書室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少km處,才能使它到兩所學(xué)校的距離相等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=k1x﹣1的圖象經(jīng)過A(0,﹣1)、B(1,0)兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M,若△OBM的面積為1.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使AM⊥PM?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)x軸上是否存在點(diǎn)Q,使△QBM∽△OAM?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題.
程大位,明代商人,珠算發(fā)明家,被稱為珠算之父、卷尺之父.少年時(shí),讀書極為廣博,對(duì)數(shù)學(xué)頗感興趣,60歲時(shí)完成其杰作《直指算法統(tǒng)宗》(簡稱《算法統(tǒng)宗》).
在《算法統(tǒng)宗》里記載了一道趣題:一百饅頭一百僧,大僧三個(gè)更無爭,小僧三人分一個(gè),大小和尚各幾丁?意思是:有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭,如果大和尚1人分3個(gè),小和尚3人分1個(gè),正好分完.試問大、小和尚各多少人?
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