Question

【題目】(1)如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)．且BE+DF=EF．試求∠EAF度數(shù)．

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得求出∠EAF度數(shù)，他求出的∠EAF度數(shù)應(yīng)是 ．請(qǐng)你根據(jù)他的思路完成論證過程.

(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分別是BC，CD上的點(diǎn)，試探究當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足什么關(guān)系時(shí)有BE+DF=EF，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）當(dāng)∠EAF＝∠BAD時(shí)有BE+DF=EF，理由見解析.

【解析】

（1）延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再證明△AEF≌△AGF，可得∠EAF＝∠GAF，即可解題；

（2）延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再證明△AEF≌△AGF，可得∠EAF＝∠GAF，即可解題．

解：（1）在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵BE+DF=EF，

∴DG+DF=EF，即GF=EF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF，

∴∠EAF＝∠FAD+∠DAG，即∠EAF＝∠FAD+∠BAE，

∴∠EAF＝∠BAD＝60°；

（2）當(dāng)∠EAF＝∠BAD時(shí)有BE+DF=EF，

理由：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE．連結(jié)AG，

∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵BE+DF=EF，

∴DG+DF=EF，即GF=EF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF，

∴∠EAF＝∠FAD+∠DAG，即∠EAF＝∠FAD+∠BAE，

∴∠EAF＝∠BAD，

∴當(dāng)∠EAF＝∠BAD時(shí)有BE+DF=EF.