【題目】我們約定:對角線互相垂直的凸四邊形叫做“正垂形”.

(1)①在“平行四邊形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“正垂形”的有   ;

②在凸四邊形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,則該四邊形   “正垂形”.(填“是”或“不是”)

(2)如圖1,A,B,C,D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點,AC與BD交于點E,∠ACB﹣∠CDB=∠ACD﹣∠CBD,當≤OE≤時,求AC2+BD2的取值范圍;

(3)如圖2,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a>0,c<0)與x軸交于A,C兩點(點A在點C的左側(cè)),B是拋物線與y軸的交點,點D的坐標為(0,﹣ac),記“正垂形”ABCD的面積為S,記△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面積分別為S1,S2,S3,S4試直接寫出滿足下列三個條件的拋物線的解析式;

; ②; ③“正垂形”ABCD的周長為12

【答案】(1)①菱形、正方形;②不是;(2)6≤AC2+BD2≤7;(3)y=x2﹣9.

【解析】

(1)①∵菱形、正方形的對角線相互垂直,∴菱形、正方形為正垂形,故:答案是:菱形、正方形;

②如圖,當BC=CD時,AB=AD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,可知,四邊形ABCD不是正垂形;

(2)由∠ACB-CDB=ACD-CBD,可知ACBD;OE2=OM2+ON2=(AC)2+(BD)2=(AC2+BD2),即可求解;

(3)設(shè):=b2-4ac,則:A(,0)、B(0,c)、C(,0)、D(0,-ac),由=+;=+,求a=1;由=+求得b=0;則四邊形ABCD為菱形,即:4AD=12,即可求解.

解:(1)①∵菱形、正方形的對角線相互垂直,∴菱形、正方形為正垂形”,

∵平行四邊形、矩形對角線不垂直,∴它們不是正垂形”,

故:答案是:菱形、正方形;

②如圖,當BC=CD時,AB=AD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,

∴∠BAC=DAC,AB=AD,ACBD,

∴當CB≠CD時,四邊形ABCD不是正垂形”,

故:答案為:不是;

(2)∵∠ACB﹣CDB=ACD﹣CBD,而∠ACB=ABD,ACD=ABD,

即:∠ABD+BDC=DBC+ADB,而:∠ABD+BDC=DBC+ADB=180°,

∴∠ACB+DBC=BDC+ACD=90°,ACBD;

如下圖:過點O分別作AC、BD的垂線,垂足為M、N,連接OA、OD,

OE2=OM2+ON2=(AC)2+(BD)2=(AC2+BD2),

≤OE≤,代入上式得:

6≤AC2+BD2≤7;

(3)設(shè):=b2﹣4ac,則:A(,0)、B(0,c)、C(,0)、D(0,﹣ac),

OA=,OB=﹣c,OC=,OD=﹣ac,BD=﹣ac﹣c,

S=ACBD=﹣(ac+c),S1=OAOB=﹣,S2=OCOD=﹣,

S3=OAOD=﹣,S4=OBOC=﹣,

=+,=+即:+=+;

,即a=1,

則:S=﹣c,s1=﹣,S4=

=+,S=S1+S2+2

﹣c=﹣+2,解得:b=0,

A(﹣,0)B(0,c)C(,0)D(0,﹣c),

∴四邊形ABCD為菱形,即:4AD=12

AD2=c2﹣c,解得:c=﹣910(舍去),

即:y=x2﹣9.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】知識儲備

如圖①,點E、F分別是y3y=﹣1上的動點,則EF的最小值是  ;

方法儲備

直角坐標系的建立,在代數(shù)和幾何之間架起了一座橋梁,用代數(shù)的方法解決幾何問題:某數(shù)學(xué)小組在自主學(xué)習(xí)時了解了三角形的中位線及相關(guān)的定理,在學(xué)習(xí)了《坐標與位置)后,該小組同學(xué)深入思考,利用中點坐標公式,給出了三角形中位線定理的一種證明方法.如圖②,在ABC中,點DE分別是AB,AC邊的中點,DE稱為ABC的中位線,則DEBCDEBC.該數(shù)學(xué)小組建立如圖③的直角坐標系,設(shè)點Aa,b),點C 0c)(c0).請你利用該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的思路證明DEBCDEBC.(提示:中點坐標公式,Ax1y1),Bx2y2),則AB中點坐標為(,).

綜合應(yīng)用

結(jié)合上述知識和方法解決問題,如圖④,在ABC中,∠ACB90°AC3,BC6,延長AC至點 DDEAD,連接EC并延長交AB邊于點F.若2CD+DE6,則EF是否存在最小值,若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,平行四邊形在平面直角坐標系中,其中點的坐標分別是,,點軸正半軸上,點的中點,點軸正半軸上,

1)點的坐標為______,點的坐標為_______

2)求點的坐標.

3)如圖2,根據(jù)(2)中結(jié)論,將順時針旋轉(zhuǎn),求的長度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知ABC是等邊三角形,將一塊含有30°角的直角三角尺DEF按如圖所示放置,讓三角尺在BC所在的直線上向右平移.如圖,當點E與點B重合時,點A恰好落在三角尺的斜邊DF上.

(1)利用圖證明:EF=2BC.

(2)在三角尺的平移過程中,在圖中線段AH=BE是否始終成立(假定AB,AC與三角尺的斜邊的交點分別為G,H)?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,線段AB的兩個端點的坐標分別為A (0,2),B(﹣1,0),點C為線段AB的中點,現(xiàn)將線段BA繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)、經(jīng)過點D.

(1)如圖1,若該拋物線經(jīng)過原點O,且a=﹣1.

求點D的坐標及該拋物線的解析式;

連結(jié)CD,問:在拋物線上是否存在點P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請求出所有滿足條件的點P的坐標,若不存在,請說明理由.

(2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過點E(﹣1,1),點Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余,若符合條件的Q點的個數(shù)是4個,請直接寫出a的取值范圍   

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,菱形的兩個頂點坐標為,若將菱形繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn),則第秒時,菱形兩對角線交點的坐標為__________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某商場計劃購進甲、乙兩種商品共件,這兩種商品的進價、售價如表所示:

進價(元/件)

售價(元/件)

甲種商品

乙種商品

設(shè)購進甲種商品,且為整數(shù))件,售完此兩種商品總利潤為元.

1)該商場計劃最多投入元用于購進這兩種商品共件,求至少購進甲種商品多少件?

2)求的函數(shù)關(guān)系式;

3)若售完這些商品,商場可獲得的最大利潤是__________元.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線軸交于A -1,0),B 5,0)兩點,直線y軸交于點,與軸交于點x軸上方的拋物線上一動點,過點軸于點,交直線于點設(shè)點的橫坐標為

1)求拋物線的解析式;

2)若,求的值;

3)若點是點關(guān)于直線的對稱點,是否存在點,使點落在軸上?若存在,請直接寫出相應(yīng)的點的坐標;若不存在,請說明理由

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀材料,請回答下列問題

材料一:我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了三斜求積術(shù),即已知三角形的三邊長,求它的面積.用現(xiàn)代式子表示即為:S①(其中abc為三角形的三邊長,S為面積)而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式;S……②(其中p

材料二:對于平方差公式:a2b2=(a+b)(ab

公式逆用可得:(a+b)(ab)=a2b2

例:a2﹣(b+c2=(a+b+c)(abc

1)若已知三角形的三邊長分別為3、45,請試分別運用公式①和公式②,計算該三角形的面積;

2)你能否由公式①推導(dǎo)出公式②?請試試.

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