【題目】已知△ABC是等邊三角形,將一塊含有30°角的直角三角尺DEF按如圖所示放置,讓三角尺在BC所在的直線上向右平移.如圖①,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)A恰好落在三角尺的斜邊DF上.
(1)利用圖①證明:EF=2BC.
(2)在三角尺的平移過程中,在圖②中線段AH=BE是否始終成立(假定AB,AC與三角尺的斜邊的交點(diǎn)分別為G,H)?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)成立,證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),得∠ACB=60°,AC=BC.結(jié)合三角形外角的性質(zhì),得∠CAF=30°,則CF=AC,從而證明結(jié)論;
(2)根據(jù)(1)中的證明方法,得到CH=CF.根據(jù)(1)中的結(jié)論,知BE+CF=AC,從而證明結(jié)論.
(1)∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°,∴∠CAF=60°-30°=30°,∴∠CAF=∠F,∴CF=AC,∴CF=AC=BC,∴EF=2BC.
(2)成立.證明如下:
∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵∠F=30°,∴∠CHF=60°-30°=30°,∴∠CHF=∠F,∴CH=CF.
∵EF=2BC,∴BE+CF=BC.
又∵AH+CH=AC,AC=BC,∴AH=BE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,命題:①若∠B=∠C-∠A,則△ABC是直角三角形.②若a2=(b+c)(b-c),則△ABC是直角三角形.③若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,則△ABC是直角三角形.④若a∶b∶c=5∶4∶3.則△ABC是直角三角形. 其中假命題個(gè)數(shù)為( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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【題目】如圖,點(diǎn)M(4,0),以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)A、B.已知拋物線 過點(diǎn)A和B,與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo),并畫出拋物線的大致圖象.
(2)點(diǎn)Q(8,m)在拋物線上,點(diǎn)P為此拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PQ+PB的最小值.
(3)CE是過點(diǎn)C的⊙M的切線,點(diǎn)E是切點(diǎn),求OE所在直線的解析式.
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【題目】如圖,△ABC的兩條角平分線BD、CE交于O,且∠A=60°,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.∠BOC=120° B.BC=BE+CD C.OD=OE D.OB=OC
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(3,0),與y軸交于C(0,3),拋物線頂點(diǎn)為D點(diǎn).
(1)求此拋物線解析式;
(2)如圖1,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在對(duì)稱軸右側(cè),若△ADP面積為3,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,PA交對(duì)稱軸于點(diǎn)E,如圖2,過E點(diǎn)的任一條直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn),直線MD交直線y=﹣3于點(diǎn)F,連結(jié)NF,求證:NF∥y軸.
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【題目】已知在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交線段AC于D,若△ABC和△DBC的周長(zhǎng)分別是60 cm和38 cm,則△ABC的腰長(zhǎng)和底邊BC的長(zhǎng)分別是( )
A. 22cm和16cmB. 16cm和22cm
C. 20cm和16cmD. 24cm和12cm
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【題目】我們約定:對(duì)角線互相垂直的凸四邊形叫做“正垂形”.
(1)①在“平行四邊形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“正垂形”的有 ;
②在凸四邊形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,則該四邊形 “正垂形”.(填“是”或“不是”)
(2)如圖1,A,B,C,D是半徑為1的⊙O上按逆時(shí)針方向排列的四個(gè)動(dòng)點(diǎn),AC與BD交于點(diǎn)E,∠ACB﹣∠CDB=∠ACD﹣∠CBD,當(dāng)≤OE≤時(shí),求AC2+BD2的取值范圍;
(3)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a>0,c<0)與x軸交于A,C兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)),B是拋物線與y軸的交點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,﹣ac),記“正垂形”ABCD的面積為S,記△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面積分別為S1,S2,S3,S4.試直接寫出滿足下列三個(gè)條件的拋物線的解析式;
①; ②; ③“正垂形”ABCD的周長(zhǎng)為12.
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【題目】如圖,在四邊形中,,,,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以每秒單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.
(1)當(dāng)時(shí),若以點(diǎn),和點(diǎn),,,中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,且線段為平行四邊形的一邊,求的值.
(2)若以點(diǎn),和點(diǎn),,,中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,且線段為菱形的一條對(duì)角線,請(qǐng)直接寫出的值.
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【題目】如圖,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足為F.
(1)求證:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度數(shù);
(3)求證:CD=2BF+DE.
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