Question

【題目】如圖，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長(zhǎng)線交邊BC于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E．

(1)BE與IE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)連接BI，CI，CE，若∠BED=∠CED=60°，猜想四邊形BECI是何種特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)IE=BE，理由見(jiàn)解析；(2)四邊形BECI是菱形，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）連接IB，只需證明∠IBE=∠BIE．根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心是三角形的角平分線的交點(diǎn)以及圓周角定理的推論即可證明；

（2）如圖2，由∠BED=∠CED=60°，可得∠ABC=∠ACB=60°，可得BE=CE，再由I是△ABC的內(nèi)心，可得∠4=∠ICD，從而可得BI=IC，再由(1)證得IE=BE，可得BE=CE=BI=IC，繼而可得四邊形BECI是菱形．

(1)如圖1，連接BI，

∵I是△ABC的內(nèi)心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠BIE=∠1+∠3，

∠IBE=∠5+∠4，

而∠5=∠1=∠2，

∴∠BIE=∠IBE，

∴IE=BE．

(2)四邊形BECI是菱形，

如圖2，∵∠BED=∠CED=60°，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴BE=CE，

∵I是△ABC的內(nèi)心，

∴∠4=∠ABC=30°，∠ICD=∠30°，

∴∠4=∠ICD，

∴BI=IC，

由(1)證得IE=BE，

∴BE=CE=BI=IC，

∴四邊形BECI是菱形．