Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且MG⊥BC，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜），連接MN．

（1）用含t的式子表示MG；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小面積；

（3）若△BMN與△ABC相似，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）MG＝t；（2）t＝2秒時(shí)，S四邊形ACNM最小＝cm2；（3）△BMN與△ABC相似，t的值為秒或秒．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB＝10，再判斷出△BGM∽△BCA，得出比例式即可得出結(jié)論；

（2）先表示出MN，最后利用三角形的面積差即可建立函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論；

（3）先表示出BM，BN，再分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出結(jié)論．

解：（1）由運(yùn)動(dòng)知，BM＝3t，

在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝10，

∵MG⊥BC，

∴∠MGB＝90°＝∠ACB，

∵∠B＝∠B，

∴△BGM∽△BCA，

∴，

∴，

∴MG＝t；

（2）由運(yùn)動(dòng)知，CN＝2t，

∴BN＝BC﹣CN＝8﹣2t，

由（1）知，MG＝t，

∴S四邊形ACNM＝S△ABC﹣S△BNM＝BC×AC﹣BN×MG＝×8×6﹣（8﹣2t）×t＝（t﹣2）2+，

∵0＜t＜，

∴t＝2秒時(shí)，S四邊形ACNM最小＝cm2；

（3）由（1）（2）知，BM＝3t，BN＝8﹣2t，

∵△BMN與△ABC相似，

∴①當(dāng)△BMN∽BAC時(shí)，，

∴ ，

∴t＝秒，

②當(dāng)△BMN∽△BCA時(shí)，，

∴，

∴t＝秒，

即：△BMN與△ABC相似，t的值為秒或秒．