Question

【題目】閱讀下面的材料：

小凱遇到這樣一個問題：如圖①，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四邊形ABCD的面積．小凱發(fā)現(xiàn)，分別過點A，C作直線BD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)AO為m，通過計算△ABD與△BCD的面積和可以使問題得到解決(如圖②)．請回答：

(1)△ABD的面積為________(用含m的式子表示)；

(2)求四邊形ABCD的面積．

參考小凱思考問題的方法，解決問題：

如圖③，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α(0°＜α＜90°)，則四邊形ABCD的面積為________(用含a，b，α的式子表示)．

Answer 1

【答案】（1）m；（2）6；解決問題：absinα.

【解析】

（1）首先得出AE的長，再利用三角形的面積公式求出即可；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AE＝m，再根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABD＝BDAE＝m，同理再表示CF＝ (4m)，然后再表示△BCD的面積，再求兩個三角形的面積和可得答案；

（3）方法與（2）類似．

（1）∵AO＝m，∠AOB＝30°，

∴AE＝m，

∴△ABD的面積為×m×6＝m.

故答案為m；

(2)由(1)得S△ABD＝m，

同理，CF＝ (4－m)，

∴S△BCD＝BD·CF＝6－m，

∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝6；

解決問題：分別過點A，C作直線BD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)AO為x，

∵∠AOB＝α，

∴AE＝x·sinα，

∴S△ABD＝BD·AE＝b·x·sinα，

同理，CF＝(a－x)·sinα，

∴S△BCD＝BD·CF＝b·(a－x)·sinα，

∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝b·x·sinα＋b·(a－x)·sinα＝ab·sinα，

故答案為ab·sinα.