Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標(biāo)為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點E是AB上一點，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點，拋物線y=ax²+bx+c過點D，B，C三點．
（1）請直接寫出點B、D的坐標(biāo)：B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）求證：ED是⊙P的切線；
（4）若點M為拋物線的頂點，請直接寫出平面上點N的坐標(biāo)，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）先確定B（-4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2$\sqrt{3}$，可得D（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）利用交點式，待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（3）先計算出CD=2OC=4，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定可得△AED∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到CD為⊙P的直徑，于是根據(jù)切線的判定定理得到ED是⊙P的切線；
（4）利用配方得到y(tǒng)=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和點平移的規(guī)律，利用分類討論的方法確定N點坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵C（2，0），BC=6，
∴B（-4，0），
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$，
∴OD=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$）．
故答案為：-4，0；0，2$\sqrt{3}$．
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），
把D（0，2$\sqrt{3}$）代入得a•4•（-2）=2$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+4）（x-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
（3）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，
∵AE=3BE，
∴AE=3，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{AD}{CD}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AE}{OC}$=$\frac{AD}{CD}$，
∵∠DAE=∠DCB，
∴△AED∽△COD，
∴∠ADE=∠CDO，
∵∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD為⊙P的直徑，
∴ED是⊙P的切線；
（4）存在．
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x+1）²+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$），
∵B（-4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），
如圖2，
當(dāng)BM為平行四邊形BDMN的對角線時，點D向左平移4個單位，再向下平移2$\sqrt{3}$個單位得到點B，則點M（-1，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$）向左平移4個單位，再向下平移2$\sqrt{3}$個單位得到點N₁（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
當(dāng)DM為平行四邊形BDMN的對角線時，點B向右平移3個單位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$個單位得到點M，則點D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3個單位，再向上平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$個單位得到點N₂（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）；
當(dāng)BD為平行四邊形BDMN的對角線時，點M向左平移3個單位，再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$個單位得到點B，則點D（0，2$\sqrt{3}$）向右平移3個單位，再向下平移$\frac{9\sqrt{3}}{4}$個單位得到點N₃（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
綜上所述，點N的坐標(biāo)為（-5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）、（3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）、（-3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)；掌握平行四邊形的性質(zhì)點平移的規(guī)律；會證明圓的切線．