Question

14．如圖，一組拋物線的頂點A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…A_n（x_n，y_n）（n為正整數(shù)）依次是反比例函數(shù)y=$\frac{9}{x}$圖象上的點，第一條拋物線以A₁（x₁，y₁）為頂點且過點O（0，0），B₁（2，0），等腰△A₁OB₁為第一個三角形；第二條拋物線以A₂（x₂，y₂）為頂點且經(jīng)過點B₁（2，0），B₂（4，0），等腰△A₂B₁B₂為第二個三角形；第三條拋物線以A₃（x₃，y₃）為頂點且過點B₂（4，0），B₃（6，0），等腰△A₃B₂B₃為第三個三角形；按此規(guī)律依此類推，…；第n條拋物線以A_n（x_n，y_n）為頂點且經(jīng)過點B_n-1，B_n，等腰△A_nB_n-1B_n為第n個三角形．
（1）求出A₁的坐標；
（2）求出第一條拋物線的解析式；
（3）請直接寫出A_n的坐標（2n-1，$\frac{9}{2n-1}$）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對稱性和反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征易求得到A₁（1，9）；
（2）設第一個拋物線解析式為y=a（x-1）²+9，把O（0，0）代入該函數(shù)解析式即可求得a的值；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性和反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征易求得到A₂（3，3），A₃（5，$\frac{9}{5}$），根據(jù)規(guī)律即可得出A_n的坐標．

解答 解：（1）∵第一條拋物線過點O（0，0），B₁（2，0），
∴該拋物線的對稱軸是x=1．
又∵頂點A₁（x₁，y₁）在反比例函數(shù)y=$\frac{9}{x}$圖象上，
∴y₁=9，
即A₁（1，9）；
（2）設第一個拋物線為y=a（x-1）²+9（a≠0），
把點O（0，0）代入，得到：0=a+9，
解得 a=-9．
所以第一條拋物線的解析式是y=-9（x-1）²+9；

（3）第一條拋物線的頂點坐標是A₁（1，9），
第二條拋物線的頂點坐標是A₂（3，3），
第三條拋物線的頂點坐標是A₃（5，$\frac{9}{5}$），
由規(guī)律可知A_n （2n-1，$\frac{9}{2n-1}$）．
故答案為：（2n-1，$\frac{9}{2n-1}$）．

點評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．整個解題過程，利用拋物線的對稱軸和反比例函數(shù)圖象上的坐標特征來求相關點的坐標和相關線段的長度是解題的關鍵，此題綜合性強，有一定的難度．