Question

【題目】已知：四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與C、D不重合）,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△ABE',連接EE'.

（1）如圖1,∠AEE'= °;

（2）如圖2,如果將直線AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后交直線BC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EM∥AD交直線AF于點(diǎn)M,寫(xiě)出線段DE、BF、ME之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）如圖3,在（2）的條件下,如果CE=2,AE=,求ME的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)∠AEE'=30°;

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí),;

當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上時(shí),

時(shí),;

時(shí),;

時(shí),;

(3)．

【解析】

試題（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)地的性質(zhì)易得到△ADE≌△ABE/,∠EAE/=120°，所以∠AEE/=30°.

由于點(diǎn)E是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，其位置不確定，故應(yīng)分情況討論：一是當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)：此時(shí)易得；二是點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，仍需考慮多種情況，可以知道，當(dāng)∠EAD=300時(shí)，AE旋轉(zhuǎn)后的直線與BC平行，當(dāng)∠EAD=900時(shí)，AE旋轉(zhuǎn)后的直線與AB共線，而∠EAD不可能為1200，所以應(yīng)再次細(xì)分為三種情況：即當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).

(3）如圖，作于點(diǎn)G, 作于點(diǎn)H.易知四邊形AGHD是矩形和兩個(gè)全等的直角三角形；∴點(diǎn)、B、C在一條直線上.繼續(xù)作于Q.于點(diǎn)P. 多次利用勾股定理可得，，；繼而證明Rt△AG E'∽R(shí)t△FA E'，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可求解.

試題解析：

解：(1) 30°.

當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，；

當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，

時(shí)，；

時(shí)，；

時(shí)，.

(3)作于點(diǎn)G, 作于點(diǎn)H.

由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，

易知四邊形AGHD是矩形和兩個(gè)全等的直角三角形.則GH="AD" , BG=CH.

∵,

∴點(diǎn)、B、C在一條直線上.設(shè)AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.

作于Q.在Rt△EQC中，CE="2,",

∴,.

∴E'Q=.

作于點(diǎn)P.

∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△ABE'.

∴△A EE'是等腰三角形，.

∴在Rt△AP E'中，E'P=.

∴EE'="2" E'P=.

∴在Rt△EQ E'中，E'Q=.

∴.

∴.

∴，.

∴

在Rt△E'AF中,

∴Rt△AG E'∽R(shí)t△FA E'.

∴

∴.

∴.

由（2）知：.

∴.