Question

3．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，
（1）求證：∠DHO=∠DCO．
（2）若OC=4，BD=6，求菱形ABCD的周長和面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，則利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB=90°，所以O(shè)H為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，得到OH=OD=OB，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠1=∠DHO，然后利用等角的余角相等證明結(jié)論；
（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD，然后利用菱形的性質(zhì)和面積公式求菱形ABCD的周長和面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD=OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB=90°，
∴OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，
∴OH=OD=OB，
∴∠1=∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO=90°，
∴∠1=∠DCO，
∴∠DHO=∠DCO；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，OA=OC=4，BD⊥AC，
在Rt△OCD中，CD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴菱形ABCD的周長=4CD=20，
菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$×6×8=24．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．熟練掌握菱形的性質(zhì)（菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 菱形的四條邊都相等； 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角）． 解決（1）小題的關(guān)鍵是判斷OH為直角三角形斜邊上的中線．