Question

17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，點(diǎn)E在邊AC上（不與A，C重合），DE⊥AC，DA⊥AB，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在邊AB上，且CF=FG，連接EF，EG，已知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
（1）求證：EF=FG；
（2）若CF⊥FG，求證：AC=AD；
（3）連接CD，若CD∥AB，判斷△EFG的形狀并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DH⊥BC于H，連接HF，只要證明△DEF≌△HCF即可解決問題．
（2）如圖2中，取AB中點(diǎn)M，連接FM，作CN⊥MF于N，連接CM，先證明△GFN≌△FCN，推出CN=FM，再證明AC=2CN，AD=2FM即可．
（3）△EFG是等邊三角形，如圖3中，延長(zhǎng)CF交AB于K，連接CG，只要證明點(diǎn)F是△CEG的外心，推出∠EFG=2∠ECG=60°即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，作DH⊥BC于H，連接HF．

∵∠DEC=∠DHC=∠ECH=90°，
∴四邊形CEDH是矩形，
∴DE=CH，
在Rt△DHB中，∵DF=FB，
∴FH=$\frac{1}{2}$BD=DF，
∴∠FDH=∠FHD，
∵∠EDH=∠DHC=90°，
∴∠FHC=∠FDE，
在△DEF和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=FH}\\{∠EDF=∠FHC}\\{DE=CH}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△HCF，
∴EF=CF，
∴CF=FG，
∴EF=FG．

（2）證明：如圖2中，取AB中點(diǎn)M，連接FM，作CN⊥MF于N，連接CM．

∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAB=60°，
∵AM=BM，
∴CM=AM=BM，
∴△ACM是等邊三角形，
∴∠AMC=60°，CM=AC，
∵CF⊥FG，
∴∠CFN+∠GFM=90°，
∵∠CFN+∠FCN=90°，
∴∠GFM=∠FCN，
∵∠GMF=90°=∠N，F(xiàn)G=CF，
∴△GFN≌△FCN，
∴CN=FM，
∵∠CMN=∠AMN-∠AMC=30°，
∴AC=CM=2CN，
∵F是BD中點(diǎn)，MA=MB，
∴AD=2FM，
∴AC=AD．

（3）結(jié)論：△EFG是等邊三角形．
理由：如圖3中，延長(zhǎng)CF交AB于K，連接CG，

∵CD∥AB，DF=BF，
∴FK=CF，
由（1）可知，CF=EF=FG，
∴∠CGK=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ECG=30°，
∵CF=EF=FG，
∴點(diǎn)F是△CEG的外心，
∴∠EFG=2∠ECG=60°，
∵EF=FG，
∴△EFG是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、三角形的外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或特殊四邊形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．