【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交x軸于AB兩點,交y軸于點D,點B的坐標(biāo)為,頂點C的坐標(biāo)為

求二次函數(shù)的解析式和直線BD的解析式;

P是直線BD上的一個動點,過點Px軸的垂線,交拋物線于點M,當(dāng)點P在第一象限時,求線段PM長度的最大值;

在拋物線上是否存在異于B、D的點Q,使BD邊上的高為?若存在求出點Q的坐標(biāo);若不存在請說明理由.

【答案】(1),;(2)PM有最大值;;(3)存在滿足條件的點Q,其坐標(biāo)為

【解析】

1)可設(shè)拋物線解析式為頂點式,由B點坐標(biāo)可求得拋物線的解析式,則可求得D點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線BD解析式;

2)設(shè)出P點坐標(biāo),從而可表示出PM的長度,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值;

3)過QQGy軸,交BD于點G,過QQHBDH,可設(shè)出Q點坐標(biāo),表示出QG的長度,由條件可證得DHG為等腰直角三角形,則可得到關(guān)于Q點坐標(biāo)的方程,可求得Q點坐標(biāo).

1)∵拋物線的頂點C的坐標(biāo)為(14),

∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax-12+4,

∵點B3,0)在該拋物線的圖象上,

0=a3-12+4,解得a=-1,

∴拋物線解析式為y=-x-12+4,即y=-x2+2x+3,

∵點Dy軸上,令x=0可得y=3,

D點坐標(biāo)為(0,3),

∴可設(shè)直線BD解析式為y=kx+3,

B點坐標(biāo)代入可得3k+3=0,解得k=-1

∴直線BD解析式為y=-x+3;

2)設(shè)P點橫坐標(biāo)為mm0),則Pm,-m+3),Mm,-m2+2m+3),

PM=-m2+2m+3--m+3=-m2+3m=-m-2+,

∴當(dāng)m=時,PM有最大值;

3)如圖,過QQGy軸交BD于點G,交x軸于點E,作QHBDH

設(shè)Qx,-x2+2x+3),則Gx,-x+3),

QG=|-x2+2x+3--x+3|=|-x2+3x|

∵△BOD是等腰直角三角形,

∴∠DBO=45°,

∴∠HGQ=BGE=45°,

當(dāng)BDQBD邊上的高為2時,即QH=HG=2,

QG=×2=4

|-x2+3x|=4,

當(dāng)-x2+3x=4時,=9-160,方程無實數(shù)根,

當(dāng)-x2+3x=-4時,解得x=-1x=4,

Q-1,0)或(4-5),

綜上可知存在滿足條件的點Q,其坐標(biāo)為(-1,0)或(4,-5).

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