Question

【題目】如圖，為等邊三角形，點(diǎn)是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，垂足為點(diǎn)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，連接，．

（1）求證：；

（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：為的中點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下，若的邊長(zhǎng)為1，直接寫(xiě)出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）1.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAB=∠CAE，AB=AC，AD=AE，即可證△ADB≌△AEC，可得BD=CE；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CG∥BP，交EF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，由等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得CG=BD，∠BDG=∠G，∠BFD=∠GFC，可證△BFD≌△CFG，可得結(jié)論；
（3）由題意可證點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)在以AC為直徑的圓上，由直徑是圓的最大弦可得EF的最大值．

證明：（1）∵將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，

∴，，

∴是等邊三角形，

∵為等邊三角形，

∴，，

∴，且，，

∴，

∴.

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，且，，

∴，

∴，

∴點(diǎn)是中點(diǎn).

（3）如圖，連接，

∵是等邊三角形，，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)在以為直徑的圓上，

∴最大為直徑，

即最大值為1.