Question

【題目】如圖，點B、C、D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，BD＝6cm．

（1）求證：AC是⊙O的切線．

（2）求⊙O的半徑長．

（3）求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6；（3）（）cm2．

【解析】

（1）連接OC，根據圓周角定理得到∠BOC＝60°，根據平行線的性質得到∠A＝∠OBD＝30°，于是求得∠ACO＝90°，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）設OC交BD于E，由（1）得，OC⊥AC，根據平行線的性質得到OC⊥BD，求得BD＝6 ，解直角三角形即可得到結論；

（3）根據平行線的判定定理得到OA∥CD，推出四邊形ABDC是平行四邊形，求得AC＝BD＝6，根據三角形和扇形的面積公式即可得到結論．

（1）證明：如圖，連接OC，

∵∠CDB＝∠OBD＝30°，

∴∠BOC＝60°．

∵AC∥BD，

∴∠A＝∠OBD＝30°，

∴∠BOC+∠A＝90°．

∴∠ACO＝90°．

又∵點C在⊙O上，

∴AC為⊙O切線；

（2）解：設OC交BD于E，

由（1）得，OC⊥AC，

∵AC∥BD，

∴OC⊥BD，

∴E為BD的中點，

∵BD＝ ，

∴BE＝，

在Rt△OBE中， ，

即，

∴ ，

解得OB＝6，

即⊙O的半徑長為6cm；

（3）∵∠CDB＝∠OBD，

∴OA∥CD，

∵AC∥BD，

∴四邊形ABDC是平行四邊形，

∴AC＝BD＝6 ，

∴

=．

答：陰影部分的面積為（）cm2．