Question

4．已知，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A（a，1），t=ab-a²-b²（a，b是實(shí)數(shù)）
（1）若關(guān)于x的反比例函數(shù)y=$\frac{{a}^{2}}{x}$過(guò)點(diǎn)A，求t的取值范圍．
（2）若關(guān)于x的一次函數(shù)y=bx過(guò)點(diǎn)A，求t的取值范圍．
（3）若關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+bx+b²過(guò)點(diǎn)A，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求得a的值；然后利用二次函數(shù)的最值的求法得到t的取值范圍．
（2）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求得a=$\frac{1}$；然后利用二次函數(shù)的最值的求法得到t的取值范圍．
（3）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求得以a²+b²=1-ab；然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到t的取值范圍．

解答 解：（1）把A（a，1）代入y=$\frac{{a}^{2}}{x}$得到：1=$\frac{{a}^{2}}{a}$，
解得a=1，
則t=ab-a²-b²=b-1-b²=-（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$．
因?yàn)閽佄锞€t=-（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$的開(kāi)口方向向下，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
所以t的取值范圍為：t≤-$\frac{3}{4}$；

（2）把A（a，1）代入y=bx得到：1=ab，
所以a=$\frac{1}$，
則t=ab-a²-b²=-（a²+b²）+1=-（b+$\frac{1}$）²+3≤3，
故t的取值范圍為：t≤3；

（3）把A（a，1）代入y=x²+bx+b²得到：1=a²+ab+b²，
所以ab=1-（a²+b²），
則t=ab-a²-b²=1-2（a²+b²）≤1，
故t的取值范圍為：t≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．代入求值時(shí)，注意配方法的應(yīng)用．