Question

9．已知：如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，點E是AC邊上的一個動點（點E與點A、C不重合）．
（1）當a、b滿足a²+b²-16a-12b+100=0，且c是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$的最大整數(shù)解，試求△ABC的三邊長；
（2）在（1）的條件得到滿足的△ABC中，若設AE=m，則當m滿足什么條件時，BE分△ABC的周長的差不小于2？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a²+b²-16a-12b+100=0，且c是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$的最大整數(shù)解，可以分別求得a、b、c的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△ABC的形狀；
（2）由題意可以得到關于m的不等式，從而可以解答本題．

解答 解：（1）∵a²+b²-16a-12b+100=0，
∴（a-8）²+（b-6）²=0，
∴a-8=0，b-6=0，
得a=8，b=6，
解$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$
得，-4≤x＜11，
∵c是不等式組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+12}{4}≤x+6}\\{\frac{2x+2}{3}＞x-3}\end{array}\right.$的最大整數(shù)解，
∴c=10，
∵a=8，b=8，c=10，6²+8²=10²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由題意可得，
|（AB+AE）-（BC+CE）|≥2，
即|（10+m）-（8+6-m）|≥2，
解得，m≥3或m≤1，
即當m≥3或m≤1時，BE分△ABC的周長的差不小于2．

點評 本題考查一元一次不等式組的應用，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．