Question

19．如圖，等邊△ABC中，AB=4，P是△ABC中的任意一點，連接PA、PB、PC，則PA+PB+PC的最小值為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，連接EB，先說明PA+PB+PC的最小值就是EC的長，根據(jù)EC=2EO即可即可解決問題．

解答 解：如圖，將△ABP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，連接EB，則△AEB、△APF是等邊三角形，
此時PA+PB+PC=PC+PF+EF，所以當(dāng)E、F、P、C共線時，PA+PB+PC最小，這個最小值就是EC的長．
設(shè)EC交AB于點O，∵△AEB，△ABC都是邊長為4的等邊三角形，
∴EC=2EO=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=4$\sqrt{3}$．
故答案為4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線找到PA+PB+PC的最小值就是線段EC的長，題目有一點難度，掌握添加輔助線的方法．