【題目】如圖,已知直線y=﹣x+3x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在線段OA上,從點(diǎn)A1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上,從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)B個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ為直角三角形;

(3)過(guò)點(diǎn)PPEy軸,交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)QQFy軸,交拋物線于點(diǎn)F,連接EF,當(dāng)EFPQ時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3;(2)當(dāng)t=1t=時(shí),△PQA是直角三角形;(3)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,3).

【解析】試題分析:1)先利用直線解析式確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;

2OP=t,AQ=t,則PA=3-t,先判斷∠QAP=45°,討論:當(dāng)∠PQA=90°時(shí),如圖①,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得PA=AQ,即3-t=t;當(dāng)∠APQ=90°時(shí),如圖②,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AQ=AP,即t=3-t),然后分別解關(guān)于t的方程即可;

3)如圖③,延長(zhǎng)FQx軸于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t,-t+3),易得AQH為等腰直角三角形,則AH=HQ=AQ=t,則可表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3-t,t),點(diǎn)F的坐標(biāo)為[3-t,-3-t2+23-t+3],所以FQ=-t2+3t,再證明四邊形PQFE為平行四邊形得到EP=FQ.即3-t=3t-t2,然后解方程求出t即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo).

試題解析:1y=﹣x+3x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

∴當(dāng)y=0時(shí),x=3,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),當(dāng)x=0時(shí),y=3,即B點(diǎn)坐標(biāo)為(03).

∵將A3,0),B0,3)代入得: ,解得,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

2OA=OB=3,BOA=90°,

∴∠QAP=45°

如圖①所示:∠PQA=90°時(shí).

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則QA=t,PA=3t

RtPQA中, ,即

解得:t=1

如圖②所示:∠QPA=90°時(shí).

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則QA=t,PA=3t

RtPQA中, ,即

解得:t=

綜上所述,當(dāng)t=1t=時(shí),PQA是直角三角形.

3)如圖③所示:

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),則EP=3﹣t.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3﹣t,t),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3﹣t3﹣t2+23﹣t+3),即F3﹣t,4t﹣t2),則FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2

EPFQ,EFPQ

∴四邊形EFQP為平行四邊形.

EP=FQ,即3﹣t=3t﹣t2

解得:t1=1t2=3(舍去).

t=1代入得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,3).

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, ,0, ,……

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整數(shù)集合:{ …}

分?jǐn)?shù)集合:{ …}

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,, ,

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時(shí),;

時(shí), ;

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依據(jù)上述信息,解決下列問(wèn)題:

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