Question

【題目】四邊形的一條對(duì)角線將這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似(不全等)，那么我們將這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的相似對(duì)角線．

(1)如圖1，四邊形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，對(duì)角線AC平分∠DAB，求證：AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線；

(2)如圖2，直線分別與x，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，P為反比例函數(shù)y＝(k＜0)上的點(diǎn)，若AO是四邊形ABOP的相似對(duì)角線，求反比例函數(shù)的解析式；

(3)如圖3，AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，1)，AC∥x軸，∠BCA＝∠DCA＝30°，連接BD，△BCD的面積為．過(guò)A，C兩點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx+c(a＜0)與x軸交于E，F兩點(diǎn)，記|m|＝AC+1，若直線y＝mx與拋物線恰好有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；（3）a＝﹣或﹣．

【解析】

（1）如圖1，設(shè)∠ACD＝α，則∠ACB＝130°﹣α，則∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，即可求解；

（2）分∠APO為直角、∠OAP為直角兩種情況，分別求解即可；

（3）CH＝BC，則BH＝BC，△BCD的面積＝CDBH＝CD×HB＝，故CDBC＝4，而△BAC∽△ACD，故CD2＝BCCD＝4，故CD＝2，則點(diǎn)A（1，1），則拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2+（4a+3）x+3a+1，AC＝1，則m＝±3，故直線的表達(dá)式為：y＝±3x，直線y＝﹣3x與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，而直線y＝mx與拋物線恰好有3個(gè)交點(diǎn)，則直線y＝3x與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，即可求解．

解：（1）如圖1，設(shè)∠ACD＝α，則∠ACB＝130°﹣α，

∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，

在△ABC和△ACD中，∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，

∴△ABC∽△ACD，

∴AC是四邊形ABCD的相似對(duì)角線；

（2）①當(dāng)∠APO為直角時(shí)，

當(dāng)∠OAP＝30°時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，

設(shè)OH＝x，則HP＝x，HA＝3x，則x+3x＝4，

解得：x＝1，故點(diǎn)P（1，﹣），故k＝﹣；

當(dāng)∠AOP＝30°時(shí)，

同理可得：k＝﹣3；

②當(dāng)∠OAP為直角時(shí)，

當(dāng)∠OPA＝30°時(shí)，

點(diǎn)P（4，﹣4），k＝﹣16；

當(dāng)∠AOP＝30°時(shí)，OA＝AO，∠OAP＝∠AOB＝90°，∠AOP＝∠OAB＝30°

∴△OAP≌△AOB，不符合相似對(duì)角線的定義，故舍去；

綜上，反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，則∠CBH＝60°﹣∠BCD＝30°，

故CH＝BC，則BH＝BC，

△BCD的面積＝CDBH＝CD× BC＝，故CDBC＝4

而△BAC∽△ACD，故CA2＝BCCD＝4，故CA＝2，

則點(diǎn)A（1，1），而點(diǎn)C（3，1），

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：

拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2﹣4ax+3a+1，

AC＝2，則m＝±3，

故直線的表達(dá)式為：y＝±3x，

直線y＝﹣3x與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，而直線y＝mx與拋物線恰好有3個(gè)交點(diǎn)，

則直線y＝3x與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，

聯(lián)立直線y＝3x于拋物線的表達(dá)式并整理得：ax2﹣（4a+3）x+3a+1＝0，

△＝（4a+3）2﹣4a（3a+1）＝0，

解得：a＝﹣或﹣．