Question

【題目】如圖②，在中，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿斜邊AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使點(diǎn)N落在射線PB上，連接CM，設(shè)CQ=y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）（0＜x＜），y與x函數(shù)關(guān)系如圖①所示：

（1）求y與x函數(shù)關(guān)系式及a的值；

（2）設(shè)的面積為S，求S的最大值；

（3）若是等腰三角形，求x的值．

Answer 1

【答案】（1），a的值為4；（2）；（3）x的值為1或或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求出y與x函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)時(shí)，，從而可求出AQ的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可求出AP的長(zhǎng)，由此即可得出a的值；

（2）如圖（見(jiàn)解析），先利用相似三角形的性質(zhì)可求出PQ的長(zhǎng)，從而可得MQ的長(zhǎng)，再利用正弦三角函數(shù)可得DM的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式可得S與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）先利用線段的和差、勾股定理求出的值，再根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況，分別建立方程求解即可得．

（1）設(shè)y與x函數(shù)關(guān)系式為

由圖①可知，的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

將點(diǎn)代入得：，解得

則y與x函數(shù)關(guān)系式為

當(dāng)時(shí)，，即

，

，

四邊形PQMN是正方形

在和中，

，即

解得

則

綜上，y與x函數(shù)關(guān)系式為，a的值為4；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)

由（1）可知，，，

，即

解得

四邊形PQMN是正方形

，

在中，

在中，，即

解得

則

整理得：

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為；

（3）在中，

在中，

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：

①當(dāng)時(shí)，是等腰三角形

則

解得

②當(dāng)時(shí)，是等腰三角形

則，即

解得或（不符題意，舍去）

③當(dāng)時(shí)，是等腰三角形

則，即

解得或（不符題意，舍去）

綜上，x的值為1或或．