【題目】(1)一個兩位正整數(shù),a表示十位上的數(shù)字,b表示個位上的數(shù)字(a≠b,ab≠0),則這個兩位數(shù)用多項式表示為 (含a、b的式子);若把十位、個位上的數(shù)字互換位置得到一個新兩位數(shù),則這兩個兩位數(shù)的和一定能被 整除,這兩個兩位數(shù)的差一定能被 整除.
(2)一個三位正整數(shù)F,各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0.若從它的百位、十位、個位上的數(shù)字中任意選擇兩個數(shù)字組成6個不同的兩位數(shù).若這6個兩位數(shù)的和等于這個三位數(shù)本身,則稱這樣的三位數(shù)F為“友好數(shù)”,例如:132是“友好數(shù)”.
一個三位正整數(shù)P,各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0,若它的十位數(shù)字等于百位數(shù)字與個位數(shù)字的和,則稱這樣的三位數(shù)P為“和平數(shù)”;
①直接判斷123是不是“友好數(shù)”?
②直接寫出共有 個“和平數(shù)”;
③通過列方程的方法求出既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”的數(shù).
【答案】(1) 10a+b,11,9;(2) ①123不是“友好數(shù)”,理由見解析;②32;③既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”的數(shù)是396,264,132.
【解析】
(1)分別求出兩數(shù)的和與兩數(shù)的差即可得到結(jié)論;
(2)①根據(jù)“友好數(shù)”的定義判斷即可;
②根據(jù)“和平數(shù)”的定義列舉出所有的“和平數(shù)”即可;
③設(shè)三位數(shù)既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”,根據(jù)“和平數(shù)”的定義,得出y=x+z.再由“友好數(shù)”的定義,得出10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y=100x+10y+z,化簡即為12y=78x﹣21z.把y=x+z代入,整理得出z=2x,然后從②的數(shù)字中挑選出符合要求的數(shù)即可.
(1)這個兩位數(shù)用多項式表示為10a+b,
(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b),
∵11(a+b)÷11=a+b(整數(shù)),
∴這個兩位數(shù)的和一定能被數(shù)11整除;
(10a+b)﹣(10b+a)=10a+b﹣10b﹣a=9a﹣9b=9(a﹣b),
∵9(a﹣b)÷9=a﹣b(整數(shù)),
∴這兩個兩位數(shù)的差一定能被數(shù)9整除,
故答案為:11,9;
(2)①123不是“友好數(shù)”.理由如下:
∵12+21+13+31+23+32=132≠123,
∴123不是“友好數(shù)”;
②十位數(shù)字是9的“和平數(shù)”有198,297,396,495,594,693,792,891,一個8個;
十位數(shù)字是8的“和平數(shù)”有187,286,385,584,682,781,一個6個;
十位數(shù)字是7的“和平數(shù)”有176,275,374,473,572,671,一個6個;
十位數(shù)字是6的“和平數(shù)”有165,264,462,561,一個4個;
十位數(shù)字是5的“和平數(shù)”有154,253,352,451,一個4個;
十位數(shù)字是4的“和平數(shù)”有143,341,一個2個;
十位數(shù)字是3的“和平數(shù)”有132,231,一個2個;
所以,“和平數(shù)”一共有8+(6+4+2)×2=32個.
故答案為32;
③設(shè)三位數(shù)既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”,
∵三位數(shù)是“和平數(shù)”,
∴y=x+z.
∵是“友好數(shù)”,
∴10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y=100x+10y+z,
∴22x+22y+22z=100x+10y+z,
∴12y=78x﹣21z.
把y=x+z代入,得12x+12z=78x﹣21z,
∴33z=66x,
∴z=2x,
由②可知,既是“和平數(shù)”又是“友好數(shù)”的數(shù)是396,264,132.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三月底,某學(xué)校迎來了以“學(xué)海通識品墨韻,開卷有益覽書山”為主題的學(xué)習(xí)節(jié)活動.為了讓同學(xué)們更好的了解二十四節(jié)氣的知識,本次學(xué)習(xí)節(jié)在沿襲以往經(jīng)典項目的基礎(chǔ)上,增設(shè)了“二十四節(jié)氣之旅”項目,并開展了相關(guān)知識競賽.該學(xué)校七、八年級各有400名學(xué)生參加了這次競賽,現(xiàn)從七、八年級各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行抽樣調(diào)查.
收集數(shù)據(jù)如下:
七年級:
八年級:
整理數(shù)據(jù)如下:
分析數(shù)據(jù)如下:
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)a=______,b=______;
(2)你認(rèn)為哪個年級知識競賽的總體成績較好,說明理由(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性);
(3)學(xué)校對知識競賽成績不低于80分的學(xué)生頒發(fā)優(yōu)勝獎,請你估計學(xué)校七、八年級所有學(xué)生中獲得優(yōu)勝獎的大約有_____人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張老師元旦節(jié)期間到武商眾圓商場購買一臺某品牌筆記本電腦,恰逢商場正推出“迎元旦”促銷打折活動,具體優(yōu)惠情況如表:
購物總金額(原價) | 折扣 |
不超過5000元的部分 | 九折 |
超過5000元且不超過10000元的部分 | 八折 |
超過10000元且不超過20000元的部分 | 七折 |
…… | …… |
例如:若購買的商品原價為15000元,實際付款金額為:
5000×90%+(10000﹣5000)×80%+(15000﹣10000)×70%=12000元.
(1)若這種品牌電腦的原價為8000元/臺,請求出張老師實際付款金額;
(2)已知張老師購買一臺該品牌電腦實際付費5700元.
①求該品牌電腦的原價是多少元/臺?
②若售出這臺電腦商場仍可獲利14%,求這種品牌電腦的進(jìn)價為多少元/臺?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=kx2+(k﹣2)x﹣2(其中k>0).
(1)求該拋物線與x軸的交點及頂點的坐標(biāo)(可以用含k的代數(shù)式表示);
(2)若記該拋物線頂點的坐標(biāo)為P(m,n),直接寫出|n|的最小值;
(3)將該拋物線先向右平移個單位長度,再向上平移個單位長度,隨著k的變化,平移后的拋物線的頂點都在某個新函數(shù)的圖象上,求新函數(shù)的解析式(不要求寫自變量的取值范圍).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,完成任務(wù):
自相似圖形
定義:若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點,連接EG,HF交于點O,易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.
任務(wù):
(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中,每個正方形與原正方形的相似比為 ;
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過點C作CD⊥AB于點D,則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則△ACD與△ABC的相似比為 ;
(3)現(xiàn)有一個矩形ABCD是自相似圖形,其中長AD=a,寬AB=b(a>b).
請從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇 題.
A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含n,b的式子表示);
B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含m,n,b的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是的外接圓,AB是的直徑,D是AB延長線的一點, 交DC的延長線于 于F,且.
求證:DE是的切線;
若,求AE和BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)教師將班中留守學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況分成四個等級,制成不完整的統(tǒng)計圖:
(1)該班有多少名留守學(xué)生?并將該條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.
(2)數(shù)學(xué)教師決定從等級的留守學(xué)生中任選兩名進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)幫扶,使用列表或畫樹狀圖的方法,求出所選幫扶的兩名留守學(xué)生來自同一等級的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3過A(1,0),B(﹣3,0),直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標(biāo)為﹣2,點P(m,n)是線段AD上的動點.
(1)求直線AD及拋物線的解析式;
(2)過點P的直線垂直于x軸,交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式,m為何值時,PQ最長?
(3)在平面內(nèi)是否存在整點(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R,使得P,Q,D,R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點R的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在正方形ABCD中,P是對角線AC上的一點,點E在BC的延長線上,且PE=PB.
(1)求證:△BCP≌△DCP;
(2)求證:∠DPE=∠ABC;
(3)把正方形ABCD改為菱形,其它條件不變(如圖②),若∠ABC=58°,則∠DPE= 度.
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