Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC=BC，點D是⊙O中弧AB的上的一點，延長DA至點E，使CE=CD．
（1）填空：寫出圓中一對相等的圓周角：∠

 

=∠

 

；
（2）求證：△ACE≌△BCD；
（3）若AB是直徑，CD=1，求證：AD+BD的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得答案；
（2）根據(jù)等邊對等角，可得等腰三角形的兩底角相等，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得兩個等腰三角形的底角相等，等腰三角形的頂角相等，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠ACE=∠BCD，根據(jù)SAS，可得證明結(jié)論；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得AE與BD的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得DE的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答：解：（1）∠CBA=∠CDA或∠CAB=∠CBA等；
（2）證明：∵AC=BC，CE=CD，
∴∠CAB=∠CBA，∠E=∠CDE，
又∠CBA=∠CDE，∴∠ACB=∠ECD；
∵∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（3）∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
若AB是直徑，則∠ACB=90°，
∴∠ECD=90°，
CE=CD=1
∴DE=

2

CD=

2

，
∴AD+BD=AD+AE=DE=

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了同弧所對的圓周角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，難度適中．