Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是圓上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D．
（1）當(dāng)點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？請畫出圖形，并說明理由；
（2）當(dāng)DP為⊙O的切線時，求線段DP的長．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)當(dāng)點P是

BC

的中點時，得出

PBA

=

PCA

，得出PA是○O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證；
（2）利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長，進而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長．

解答：解：（1）當(dāng)點P是

BC

的中點時，DP是⊙O的切線．如圖：
理由如下：
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵

PB

=

PC

，
∴

PBA

=

PCA

，
∴PA是⊙O的直徑，
∵

PB

=

PC

，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切線．

（2）連接OB，設(shè)PA交BC于點E．
由垂徑定理，得BE=

1

2

BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE=

AB2-BE2

=

102-62

=8，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=8-r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r²=6²+（8-r）²，
解得r=

25

4

，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴

BE

DP

=

AE

AP

，即

6

DP

=

8

2× 25 4

，
解得：DP=

75

8

．

點評：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ABE∽△ADP是解題關(guān)鍵．