Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A（0，8），與x軸交于B、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）．點(diǎn)P（m，n）為該二次函數(shù)在第二象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），連接BD．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)以O、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OBD相似時(shí)，求m的值；

（3）連接BP，以BD、BP為鄰邊作BDEP，直線PE交x軸于點(diǎn)T．當(dāng)點(diǎn)E落在該二次函數(shù)圖象上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） ,（﹣8，0）；（2）﹣4或﹣1﹣ ；（3）（1，）.

【解析】

（1）直接將A，C兩點(diǎn)代入即可求

（2）可設(shè)P（m，-m2-m+8），由∠OQP=∠BOD=90°，則分兩種情況：△POQ∽△OBD和△POQ∽△OBD分別求出PQ與OQ的關(guān)系即可

（3）作平行四邊形，實(shí)質(zhì)是將B、P向右平移8個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位即可得到點(diǎn)E和點(diǎn)D，點(diǎn)E在二次函數(shù)上，代入即可求m的值，從而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（1）把A（0，8），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得

，解得

∴該二次函數(shù)的表達(dá)為y＝﹣x2﹣x+8

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣x+8＝0，解得x1＝﹣8，x2＝4

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣8，0）

（2）設(shè)P（m，﹣m2﹣m+8），由∠OQP＝∠BOD＝90°，分兩種情況：

當(dāng)△POQ∽△OBD時(shí)，

∴PQ＝2OQ

即﹣m2﹣m+8＝2×（﹣m），解得m＝﹣4，或m＝8（舍去）

當(dāng)△POQ∽△OBD時(shí)，

∴OQ＝2PQ

即﹣m＝2×（﹣m2﹣m+8），解m＝﹣1﹣ 或m＝﹣1+（舍去）

綜上所述，m的值為﹣4或﹣1﹣

（3）∵四邊形BDEP為平行四邊形，

∴PE∥BD，PE＝BD

∵點(diǎn)B向右平移8個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D

∴點(diǎn)P向右平移8個(gè)單位，再向上平衡4個(gè)單位得到點(diǎn)E

∵點(diǎn)P（m，﹣m2﹣m+8），

∴點(diǎn)E（m+8，﹣m2﹣m+12），

∵點(diǎn)E落在二次函數(shù)的圖象上

∴﹣（m+8）2﹣（m+8）+8＝﹣m2﹣m+12

解得，m＝﹣7

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，）．