Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=x上一點(diǎn)P（2，2），C為y軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過(guò)點(diǎn)D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y=x交于點(diǎn)A，連接CD，直線CD與直線y=x交于點(diǎn)Q，當(dāng)△OPC≌△ADP時(shí)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)是_____，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．

Answer 1

【答案】（0，4+2）（2+2，2+2）

【解析】

過(guò)P點(diǎn)作x軸的平行線交y軸于M，交AB于N，如圖，設(shè)C（0，t），OP=2，OM=BN=PM=2，CM=t﹣2，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得PC=PD，∠CPD=90°，再證明△PCM≌△DPN得到PN=CM=t﹣2，DN=PM=2，于是得到D（t，4），接著利用△OPC≌△ADP得到AD=OP=2，則A（t，4+2），于是利用y=x圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到t=4+2，所以C（0，4+2），D（4+2，4），接下來(lái)利用待定系數(shù)求出直線CD的解析式為y=（1﹣）x+4+2，則通過(guò)解方程組可得Q點(diǎn)坐標(biāo)．

過(guò)P點(diǎn)作x軸的平行線交y軸于M，交AB于N，如圖，設(shè)C（0，t），∴P（2，2），∴OP=2，OM=BN=PM=2，CM=t﹣2．

∵線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，∴PC=PD，∠CPD=90°，∴∠CPM+∠DPN=90°，

而∠CPM+∠PCM=90°，∴∠PCM=∠DPN，

在△PCM和△DPN中，∵，∴△PCM≌△DPN，∴PN=CM=t﹣2，DN=PM=2，∴MN=t﹣2+2=t，DB=2+2=4，∴D（t，4）．

∵△OPC≌△ADP，∴AD=OP=2，∴A（t，4+2），

把A（t，4+2）代入y=x得：t=4+2，∴C（0，4+2），D（4+2，4），

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，

把C（0，4+2），D（4+2，4）代入得：，解得：，∴直線CD的解析式為y=（1﹣）x+4+2，

解方程組，得：，∴Q（2+2，2+2）．

故答案為：（0，4+2），（2+2，2+2）．