Question

【題目】如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且∠DBA＝∠BCD．

（1）根據你的判斷：BD是⊙O的切線嗎？為什么？．

（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為10，cos∠BFA＝，那么，你能求出△ACF的面積嗎？若能，請你求出其面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD是⊙O的切線,理由見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）BD是⊙O的切線．先連接OB，由于AC是直徑，那么∠ABC=90°，于是∠1+∠C=90°，而OA=OB，可得∠1=∠2，結合∠3=∠C，易得∠2+∠3=90°，從而可證DB是⊙O的切線；

（2）由于cos∠BFA=，那么，利用圓周角定理可知∠E=∠C，∠4=∠5，易證△EBF∽△CAF，于是，從而易求△ACF的面積．

（1）BD是⊙O的切線．

理由：如圖所示，連接OB，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∴∠1+∠C=90°，

∵OA=OB，

∴∠1=∠2，

∴∠2+∠C=90°，

∵∠3=∠C，

∴∠2+∠3=90°，

∴DB是⊙O的切線；

（2）在Rt△ABF中，

∵cos∠BFA=，

∴，

∵∠E=∠C，∠4=∠5，

∴△EBF∽△CAF，

∴，

即，

解之得：S△ACF=22.5．